Znaleźć wzór algebraiczny.

[Madonzy]

\(\displaystyle{ a_{n} = 4a_{n-1} + 3 ; n > 0 ; a_{0} = 3}\)
Trzeba znaleźć wżór algebraiczny.
Ale bardzo bym prosił, żeby to rozpisać.

[Dakurels]

Spróbuj spojrzeć na to jak na liczbę zapisaną w systemie czwórkowym.

[Madonzy]

Dakurels, nie to trzeba za pomocą wzoru:

\(\displaystyle{ a_{n} = c_{1} \cdot r_{1} + c_{2} \cdot r_{2} ; D \neq 0}\)
\(\displaystyle{ a_{n} = c_{1} \cdot r_{1} + c_{2} \cdot n \cdot r_{2} ; D > 0}\)

[yorgin]

Spróbuj spojrzeć na to jak na liczbę zapisaną w systemie czwórkowym.

A co zrobi, gdy zamiast \(\displaystyle{ 4a_{n-1}+3}\) ma \(\displaystyle{ \pi a_{n-1}+e^{163}}\) ?

\(\displaystyle{ a_{n} = 4_{an-1} + 3 ; n > 0 ; a_{0} = 3}\)
Trzeba znaleźć wżór algebraiczny.
Ale bardzo bym prosił, żeby to rozpisać.

Masz użyć do tego jakiejś konkretnej metody, typu równanie charakterystyczne/funkcje tworzące? A może wystarczy wymyślić wzór i go udowodnić?

[Madonzy]

trzeba z pomocą sumy postępu geometrycznego
\(\displaystyle{ \frac{a _{1} \cdot (1 - q ^{n}) }{1 - q}}\)

[a4karo]

Dodaj do obu stron równości jedynkę i oznacz \(\displaystyle{ b_n=a_n+1}\). Jakie równanie spełnia \(\displaystyle{ b_n}\). Potrafisz napisać ogólny wyraz tego ciągu?

[yorgin]

Madonzy, generalnie jest na to gotowy wzór: 336640.htm#p5104304

Ale, skoro masz wykorzystać ciąg geometryczny, to zauważ, że:

\(\displaystyle{ a_1=4\cdot 3+3\\
a_2=4\cdot (4\cdot 3+3)+3=4^2\cdot 3+4\cdot 3+3\\
a_3=4\cdot (4^2\cdot 3+4\cdot 3 +3)+3=4^3\cdot 3+4^2\cdot 3+4\cdot 3+3}\)

Co zauważasz?

a4karo, nie mam nic przeciwko takiej "sztuczce", ale co zrobisz dla przykładu podanego przeze mnie wcześniej?

[Dakurels]

Ale to jest konkretny przykład, więc nie widzę problemu w robieniu "sztuczek", nie każde rozwiązanie musi być ogólne.

[yorgin]

Nie musi, pod warunkiem że zna się standardowe metody.

Wracając do sztuczek, jaką zastosujesz do poniższego?

\(\displaystyle{ a_n=\pi a_{n-1}+e^{163}}\)

Nie chcę być złośliwy, chcę po prostu pokazać jak niską wartość dydaktyczną mają rozwiązania "trikowe" dla kogoś, kto jeszcze nie potrafi tego zrobić podstawowymi metodami. Na tym etapie można je traktować jako ciekawostki, a nie jako podstawowe narzędzia.

Poza tym autor tematu napisał, czego należy użyć w rozwiązaniu.

[Madonzy]

Madonzy, generalnie jest na to gotowy wzór: 336640.htm#p5104304

Ale, skoro masz wykorzystać ciąg geometryczny, to zauważ, że:

\(\displaystyle{ a_1=4\cdot 3+3\\
a_2=4\cdot (4\cdot 3+3)+3=4^2\cdot 3+4\cdot 3+3\\
a_3=4\cdot (4^2\cdot 3+4\cdot 3 +3)+3=4^3\cdot 3+4^2\cdot 3+4\cdot 3+3}\)

Co zauważasz?

To wszystko zauważam, no ale dalej musimy wygenerować wzór algebraiczny. Jak to zrobić?

[yorgin]

A czy widzisz tam sumę ciągu geometrycznego? I jak wygląda w ogólności \(\displaystyle{ a_n}\) w postaci takich sum, jakie wypisałem wcześniej?

[a4karo]

@yorgin:
Zeby rozwiązać Twoj problem: \(\displaystyle{ a_{n+1}=\pi a_n+e^{163}}\) oczywiście wskażę podstawienie \(\displaystyle{ b_n=a_n+\frac{e^{163}}{\pi -1}}\) (sprawdz, że to działa ). To, co pokazałem, to JEST metoda na takie zadania

[yorgin]

a4karo, ślicznie Jest metoda, ale...

Po pierwsze - nie tłumaczysz jej w żaden sposób, tylko podajesz z sufitu gotowe podstawienia.

Po drugie - i tu też uwaga do Madonzy, czy taka metoda będzie odpowiednia (pasowała do sumy szeregu geometrycznego)?

[a4karo]

Ok, już tłumaczę na czym polega ta metoda:

Aby rozwiązac równanie iteracyjne \(\displaystyle{ a_{n+1}=\alpha a_n+\beta}\) zauważmy dwie rzeczy:
1. jeżeli \(\displaystyle{ \beta=0}\), to oczywiście mamy do czynienia z ciągiem geometrycznym i \(\displaystyle{ a_n=a_0\alpha^n}\).
2. Ciąg \(\displaystyle{ b_n=a_n+p}\) spełnia równanie inne równanie iteracyjne:
\(\displaystyle{ b_{n+1}=a_{n+1}+p=\alpha a_n+\beta +p=\alpha(a_n+p)+\beta+p-\alpha p=\alpha b_n+\beta+p(1-\alpha)}\)
Jeżeli zatem wybierzemy \(\displaystyle{ p}\) tak, aby \(\displaystyle{ \beta+p(1-\alpha)=0}\), to ciąg \(\displaystyle{ b_n}\) będzie geometryczny i łatwo znajdziemy zwór ogólny na \(\displaystyle{ b_n}\), a zatem również na \(\displaystyle{ a_n}\).

Zadanie: kiedy ta metoda nie zadziała? jak wtedy rozwiązać równanie rekurencyjne?