ile jest liczb podzielnych przez 3
ile jest liczb podzielnych przez 3
Proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania i przy okazji wytłumaczenie:
Ile jest liczb podzielnych przez 3, do których zapisu użyto wyłącznie cyfr 0 i 1, jeśli liczby te są 8-cyfrowe.
Z góry dziękuję
Ile jest liczb podzielnych przez 3, do których zapisu użyto wyłącznie cyfr 0 i 1, jeśli liczby te są 8-cyfrowe.
Z góry dziękuję
-
- Użytkownik
- Posty: 6607
- Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 119 razy
- Pomógł: 1823 razy
ile jest liczb podzielnych przez 3
Szukamy wiec liczb z 3 jedynkami Pierwsza taka liczba bedzie 10000011. Teraz szukamy nastepnej i cos zauwazamy
\(\displaystyle{ a_1=10000011\\
a_2=10000101\\
a_3=10001001\\
a_4=10010001\\
a_4=10100001\\
a_4=11000001\\
...\\}\)
Teraz wystarczy zauwazyc ze 11 moze wystepowac na 6 pozycjach, 101 na 5, 1001 na 4 itd...
Dodane:
Rzeczywiscie moze byc jeszcze 6 jedynek, tak wiec:
\(\displaystyle{ a_1=10011111\\
a_3=10111101\\
a_4=10111011\\
a_5=10110111\\
a_6=10101111\\}\)
Czyli trzeba jeszcze dodac:
\(\displaystyle{ n=6+5+4+3+2+1+3+2+2+2+2=32}\)
Powinno byc dobrze POZDRO
\(\displaystyle{ a_1=10000011\\
a_2=10000101\\
a_3=10001001\\
a_4=10010001\\
a_4=10100001\\
a_4=11000001\\
...\\}\)
Teraz wystarczy zauwazyc ze 11 moze wystepowac na 6 pozycjach, 101 na 5, 1001 na 4 itd...
Dodane:
Rzeczywiscie moze byc jeszcze 6 jedynek, tak wiec:
\(\displaystyle{ a_1=10011111\\
a_3=10111101\\
a_4=10111011\\
a_5=10110111\\
a_6=10101111\\}\)
Czyli trzeba jeszcze dodac:
\(\displaystyle{ n=6+5+4+3+2+1+3+2+2+2+2=32}\)
Powinno byc dobrze POZDRO
Ostatnio zmieniony 30 kwie 2007, o 16:24 przez soku11, łącznie zmieniany 2 razy.
ile jest liczb podzielnych przez 3
dzieki, ale to chyba nie jest zrobione do konca, jeszcze istnieje mozliwosc ze bedzie 6 jedynek... i wtedy liczba tez jest podzielna przez trzy
ile jest liczb podzielnych przez 3
Ano nie jest.soku11 pisze:Powinno byc dobrze POZDRO
Poprawna odpowiedź to 42
10000011, 10000101, 10000110, 10001001, 10001010, 10001100, 10010001, 10010010,
10010100, 10011000, 10011111, 10100001, 10100010, 10100100, 10101000, 10101111,
10110000, 10110111, 10111011, 10111101, 10111110, 11000001, 11000010, 11000100,
11001000, 11001111, 11010000, 11010111, 11011011, 11011101, 11011110, 11100000,
11100111, 11101011, 11101101, 11101110, 11110011, 11110101, 11110110, 11111001,
11111010, 11111100.
Pierwsza cyfra to oczywiście jedynka.
Pozostaje 7 cyfr. Takich, że liczba jedynek równa jest 3 jest \(\displaystyle{ {7 \choose 3}}\),
a takich które mają 6 jedynek jest \(\displaystyle{ {7 \choose 6}}\), czyli razem \(\displaystyle{ 35+7=42}\)
Można też inaczej \(\displaystyle{ (1+x)^7=1+7x+21x^2+35x^3+35x^4+21x^5+7x^6+x^7}\)
Dodajemy współczynniki występujące przy \(\displaystyle{ x^3}\) i \(\displaystyle{ x^6}\), czyli znowu \(\displaystyle{ 35+7=42}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 2826
- Rejestracja: 30 gru 2006, o 20:38
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lublin/warszawa
- Podziękował: 62 razy
- Pomógł: 482 razy
ile jest liczb podzielnych przez 3
Xitami, jeden drobiazg: jeśli na pierwszym miejscu jest jedynka to "pozostaje" ich tylko dwie albo pięć.
Czyli raczej: \(\displaystyle{ {7\choose2}+{7\choose 5}=42}\) - przypadkiem wychodzi to samo, ale inaczej w trakcie...
Czyli raczej: \(\displaystyle{ {7\choose2}+{7\choose 5}=42}\) - przypadkiem wychodzi to samo, ale inaczej w trakcie...
ile jest liczb podzielnych przez 3
Ten sam błąd popełniłem rozwiązując zadanie korzystając z funkcji tworzących.
Dzięki symetrii trójkąta Pascala otrzymałem poprawne rozwiązanie. (mało ciekawe)
W pytaniu domyślamy się, że chodzi o układ dziesiętny, można przyjąć inne podstawy i otrzymać identyczne rozwiązania. (chyba ciekawsze)
Dzięki symetrii trójkąta Pascala otrzymałem poprawne rozwiązanie. (mało ciekawe)
W pytaniu domyślamy się, że chodzi o układ dziesiętny, można przyjąć inne podstawy i otrzymać identyczne rozwiązania. (chyba ciekawsze)
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4069
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1393 razy
Re: ile jest liczb podzielnych przez 3
Można to uogólnić dla liczb \(\displaystyle{ n+1}\) cyfrowy. Daje się też wynik przedstawić w jawnej postaci:
\(\displaystyle{ \#\left\{k\in \NN: \text{liczby } n+1 \text{ cyfrowe zbudowane z samych } 0 \text{ i } 1 \text{ podzielne przez }3\right\} = \frac{2^n+2\cos\left(\frac{n-4}{3}\pi\right)}{3}}\)