elementy kombinatoryki

aleXx0909abc · Post autor: **aleXx0909abc** » 14 gru 2013, o 22:14

Zadanie 1
drogę od A do B można przebyć na dwa sposoby , od b do c na trzy . Na ile sposobów można przebyć drogę od a do c i z powrotem?

Zadanie 2
W starożytnym Babilonie rachunki oparte były na systemie sześćdziesiętnym. Ile wyników musiał zapamiętać starobabiloński uczeń, ucząc się tabliczki mnożenia od jednego do sześćdziesięciu? Załóż, że uczeń taki zdawał sobie sprawę z przemienności mnożenia.

Zadanie 3
Rodzina składa się z pięciorga dzieci i dwojga rodziców. Załóżmy, że dzieci nie mogą wyjść na spacer ani nie mogą zostać w domu bez opieki któregokolwiek z rodziców. W ilu możliwych kombinacjach dzieci mogą wyjść na spacer? Zauważ, że na ogół nie jest obojętne, czy na spacer idą z mamą lub tatą, czy z obojgiem rodziców

Odpowiedź: 63

Zadanie 4
Na ile sposobów można ułożyć plan lekcji na dany dzień , jeżeli najpierw mają być trzy ustalone przedmioty ścisłe, a następnie cztery humanistyczne

Zadanie 5
W pamięci komputera liczby zapisywane są jako ciągi zero-jedynkowe długości 32. ile jest takich ciągów

Zadanie 6
Tysiąc osób uczestniczących w festiwalu teatralnym odpowiedziało na pytania:
-którą z dziesięciu sztuk uważają za najlepszą , którą stawiają na drugim miejscu, którą na trzecim.
Czy może się zdarzyć , że wszyscy odpowiedzieli różnie?

Zadanie 7
W grupie 30 uczniów :
-19 lubi mat.
-17 lubi geografie
-11 lubi historie
-12 lubi mat. i geografie
-7 lubi mat. i historie
-5 lubi geografię i historię
-2 lubi wszystkie 3 wymienione przedmioty
Ilu uczniów lubi :
A) dokładnie jeden z wymienionych przedmiotów
B) dokładnie dwa z wymienionych przedmiotów
C) nie lubi żadnego z wymienionych przedmiotów ?

Zadanie 8
Na ile sposobów można z talii 52 kart wybrać 12 tak , aby mieć po trzy karty w każdym kolorze

Zadanie 9
Spośród trzech chłopców i pięciu dziewcząt zapraszamy do siebie kilka osób tak , aby na spotkaniu było tyle samo dziewcząt co chłopców. na ile sposobów możesz to zrobić?

Zadanie 10
wyobraźmy sobie język , w którym dopuszczalne są słowa zbudowane według schematu spółgłoska-samogłoska-spółgłoska...załóżmy że w tym języku jest 20 spółgłosek i sześć samogłosek. Ile słów 5-literowych można zbudować w tym języku?

Zadanie 11
Na ile sposobów z grupy złożonej z 4 Czechów , 4 Polaków i 4 Słowaków można wybrać:
a)delegację złożoną z 6 osób , po 2 z każdej narodowości ?
b)delegację złożoną z dwóch osób tej samej narodowości ?

Zadanie 12
Na ile sposobów można podzielić 10 różnych znaczków pomiędzy Adama i Bartka tak, aby Adam dostał przynajmniej 7 , a Bartek 2 znaczki?

Zadanie 13
Na ile sposobów można z talii 52 kart wyciągnąć 13 kart tak, aby były wśród nich :
a)wszystkie asy i króle
b)dokładnie 3 damy
c)dokładnie dwa króle , dwie damy i dwa walety

cosinus90 · Post autor: **cosinus90** » 14 gru 2013, o 22:33

Co już zrobiłaś w tych zadaniach?

aleXx0909abc · Post autor: **aleXx0909abc** » 14 gru 2013, o 23:01

Zadanie 1
\(\displaystyle{ {5 \choose 2} \cdot {5 \choose 3}}\)

Zadanie 2
\(\displaystyle{ 3! \cdot 4!}\)

Zadanie 3
\(\displaystyle{ {10 \choose 1} + {9 \choose 2}+ {8 \choose 3}}\)
nie wiem czy to jest dobrze rozwiązane-- 15 gru 2013, o 00:23 --powinno być :
Zadanie 1
Zadanie 4
Zadanie 6

vpprof · Post autor: **vpprof** » 15 gru 2013, o 23:49

aleXx0909abc pisze:Zadanie 1
drogę od A do B można przebyć na dwa sposoby , od b do c na trzy . Na ile sposobów można przebyć drogę od a do c i z powrotem?
\(\displaystyle{ {5 \choose 2} \cdot {5 \choose 3}}\)

Nie wiem, czy rozwiązywałaś to na chybił trafił czy nie, ale twój zapis oznacza: wybieram dwa sposoby z pięciu na przebycie drogi \(\displaystyle{ \overline{AB}}\) i oraz trzy z pięciu na przebycie \(\displaystyle{ \overline{BC}}\). Tylko że to nie ty wybierasz. Te sposoby już są ustalone a przebywając tę drogę możesz co najwyżej wybrać jeden z tych ustalonych sposobów. Czyli wybierając jeden sposób na przebycie każdego z odcinków, na ile sposobów można przebyć trasę: \(\displaystyle{ \overline{AB},\overline{BC},\overline{CB},\overline{BA}}\)?

aleXx0909abc pisze:Zadanie 4
Na ile sposobów można ułożyć plan lekcji na dany dzień , jeżeli najpierw mają być trzy ustalone przedmioty ścisłe, a następnie cztery humanistyczne
\(\displaystyle{ 3! \cdot 4!}\)

OK, oczywiście zakładając, że w ofercie są tylko trzy przedmioty ścisłe i cztery humanistyczne.

aleXx0909abc pisze:Zadanie 6
Tysiąc osób uczestniczących w festiwalu teatralnym odpowiedziało na pytania:
-którą z dziesięciu sztuk uważają za najlepszą , którą stawiają na drugim miejscu, którą na trzecim.
Czy może się zdarzyć , że wszyscy odpowiedzieli różnie?
\(\displaystyle{ {10 \choose 1} + {9 \choose 2}+ {8 \choose 3}}\)
nie wiem czy to jest dobrze rozwiązane

Nie jest to dobrze rozwiązane, bo nie ma odpowiedzi na pytanie. Nikt nie każe ci obliczać na ile sposobów te tysiąc osób może ocenić sztuki (nawiasem mówiąc obliczenia, które napisałaś opisują taką historyjkę: jedna osoba mówi: albo wybieram jedną z dziesięciu albo wybieram dwie z dziewięciu albo wybieram trzy z ośmiu — sama oceń jak to się ma do treści zadania).

Więc „czy może się zdarzyć, że wszyscy odpowiedzieli różnie?”

aleXx0909abc · Post autor: **aleXx0909abc** » 16 gru 2013, o 09:50

Zadanie 1
\(\displaystyle{ 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 3}\)

Zadanie 8
52 karty : 4 kolory = 13

\(\displaystyle{ (13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11): 12!}\)

Zadanie 9
\(\displaystyle{ 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2}\)

Zadanie 12
Adam - 7 lub 8 znaczków
Bartek- 2 znaczki

\(\displaystyle{ (10 \cdot 9)+(10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 )+(10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3)}\)

czy to jest dobrze rozwiązane?

vpprof · Post autor: **vpprof** » 16 gru 2013, o 10:37

aleXx0909abc pisze:Zadanie 1
\(\displaystyle{ 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 3}\)

Tak.

aleXx0909abc pisze:Zadanie 8
Na ile sposobów można z talii 52 kart wybrać 12 tak , aby mieć po trzy karty w każdym kolorze
52 karty : 4 kolory = 13

\(\displaystyle{ (13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11): 12!}\)

Zauważ, że \(\displaystyle{ 12!=… \cdot 5 \cdot …}\), zaś w liczniku nie ma piątki, czyli twój wynik będzie ułamkiem.

aleXx0909abc pisze:Zadanie 9
Spośród trzech chłopców i pięciu dziewcząt zapraszamy do siebie kilka osób tak , aby na spotkaniu było tyle samo dziewcząt co chłopców. na ile sposobów możesz to zrobić?
\(\displaystyle{ 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2}\)

Nie. Ma być tyle samo ♂ co ♀, czyli ile?

aleXx0909abc pisze:Zadanie 12
Na ile sposobów można podzielić 10 różnych znaczków pomiędzy Adama i Bartka tak, aby Adam dostał przynajmniej 7 , a Bartek 2 znaczki?
Adam - 7 lub 8 znaczków
Bartek- 2 znaczki

\(\displaystyle{ (10 \cdot 9)+(10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 )+(10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3)}\)

czy to jest dobrze rozwiązane?

Po pierwsze, jeśli Adam dostanie 7 a Bartek 2, to pozostanie jeden niewydany znaczek.

Po drugie, zauważ że wyrażenia takie jak \(\displaystyle{ 10 \cdot 9}\) zliczają kolejność elementów, w tym przypadku kolejność dawania znaczków, a tego nie ma w poleceniu.

aleXx0909abc · Post autor: **aleXx0909abc** » 16 gru 2013, o 15:18

Zadanie 9
Spośród trzech chłopców i pięciu dziewcząt zapraszamy do siebie kilka osób tak , aby na spotkaniu było tyle samo dziewcząt co chłopców. na ile sposobów możesz to zrobić?

może być:
3 chłopców i 3 dziewczyny
2 chłopców i 2 dziewczyny
1 chłopiec i 1 dziewczyna
\(\displaystyle{ {3 \choose 3} \cdot {5 \choose 3}+ {3 \choose 2} \cdot {5 \choose 2}+ {3 \choose 1} \cdot {5 \choose 1}}\)

teraz jest dobrze?

vpprof · Post autor: **vpprof** » 16 gru 2013, o 15:21

aleXx0909abc pisze:
Zadanie 9
Spośród trzech chłopców i pięciu dziewcząt zapraszamy do siebie kilka osób tak , aby na spotkaniu było tyle samo dziewcząt co chłopców. na ile sposobów możesz to zrobić?
może być:
3 chłopców i 3 dziewczyny
2 chłopców i 2 dziewczyny
1 chłopiec i 1 dziewczyna
\(\displaystyle{ {3 \choose 3} \cdot {5 \choose 3}+ {3 \choose 2} \cdot {5 \choose 2}+ {3 \choose 1} \cdot {5 \choose 1}}\)

teraz jest dobrze?

Tak.

aleXx0909abc · Post autor: **aleXx0909abc** » 16 gru 2013, o 15:28

Zadanie 8
Na ile sposobów można z talii 52 kart wybrać 12 tak , aby mieć po trzy karty w każdym kolorze

52 karty : 4 kolory = 13
_ _ _ i _ _ _ i _ _ _ i _ _ _

\(\displaystyle{ {13\choose 3} \cdot {13 \choose 3} \cdot {13 \choose3}}\)
???

vpprof · Post autor: **vpprof** » 16 gru 2013, o 15:31

aleXx0909abc pisze:
Zadanie 8
Na ile sposobów można z talii 52 kart wybrać 12 tak , aby mieć po trzy karty w każdym kolorze
52 karty : 4 kolory = 13
_ _ _ i _ _ _ i _ _ _ i _ _ _

\(\displaystyle{ {13\choose 3} \cdot {13 \choose 3} \cdot {13 \choose3}}\)
???

Są cztery kolory, czyli \(\displaystyle{ {13 \choose 3}^4}\).

aleXx0909abc · Post autor: **aleXx0909abc** » 16 gru 2013, o 15:36

Zadanie 12
Na ile sposobów można podzielić 10 różnych znaczków pomiędzy Adama i Bartka tak, aby Adam dostał przynajmniej 7 , a Bartek 2 znaczki?

8 znaczków Adam i 2 znaczki Bartek
\(\displaystyle{ \vee}\)
7 znaczków Adam i 3 znaczki Bartek

\(\displaystyle{ {10\choose8} \cdot {10 \choose 2} + {10 \choose 7} \cdot {10 \choose 3}}\)

vpprof · Post autor: **vpprof** » 16 gru 2013, o 15:42

aleXx0909abc pisze:
Zadanie 12
Na ile sposobów można podzielić 10 różnych znaczków pomiędzy Adama i Bartka tak, aby Adam dostał przynajmniej 7 , a Bartek 2 znaczki?
8 znaczków Adam i 2 znaczki Bartek
\(\displaystyle{ \vee}\)
7 znaczków Adam i 3 znaczki Bartek

\(\displaystyle{ {10\choose8} \cdot {10 \choose 2} + {10 \choose 7} \cdot {10 \choose 3}}\)

Jak dasz \(\displaystyle{ 8}\) znaczków Adamowi, to ile znaczków pozostało ci do rozdania? Raczej nie \(\displaystyle{ 10}\)

aleXx0909abc · Post autor: **aleXx0909abc** » 16 gru 2013, o 15:43

Zadanie 2
W starożytnym Babilonie rachunki oparte były na systemie sześćdziesiętnym. Ile wyników musiał zapamiętać starobabiloński uczeń, ucząc się tabliczki mnożenia od jednego do sześćdziesięciu? Załóż, że uczeń taki zdawał sobie sprawę z przemienności mnożenia.

\(\displaystyle{ {60 \choose2}}\)-- 16 gru 2013, o 15:44 --

vpprof pisze:
aleXx0909abc pisze:
Zadanie 12
Na ile sposobów można podzielić 10 różnych znaczków pomiędzy Adama i Bartka tak, aby Adam dostał przynajmniej 7 , a Bartek 2 znaczki?
8 znaczków Adam i 2 znaczki Bartek
\(\displaystyle{ \vee}\)
7 znaczków Adam i 3 znaczki Bartek

\(\displaystyle{ {10\choose8} \cdot {10 \choose 2} + {10 \choose 7} \cdot {10 \choose 3}}\)
Jak dasz \(\displaystyle{ 8}\) znaczków Adamowi, to ile znaczków pozostało ci do rozdania? Raczej nie \(\displaystyle{ 10}\)

\(\displaystyle{ {10\choose8} \cdot {2 \choose 2} + {10 \choose 7} \cdot {3 \choose 3}}\)

vpprof · Post autor: **vpprof** » 16 gru 2013, o 15:47

Oba zadania OK.

aleXx0909abc · Post autor: **aleXx0909abc** » 16 gru 2013, o 16:23

Zadanie 13
Na ile sposobów można z talii 52 kart wyciągnąć 13 kart tak, aby były wśród nich :
a)wszystkie asy i króle
b)dokładnie 3 damy
c)dokładnie dwa króle , dwie damy i dwa walety

a) \(\displaystyle{ {4 \choose 4} \cdot {4 \choose 4} \cdot {44 \choose 5}}\)
b) \(\displaystyle{ {4 \choose 3} \cdot {48 \choose 10}}\)
c) \(\displaystyle{ {4\choose 2} \cdot {4 \choose 2} \cdot {4 \choose 2} \cdot {40 \choose 5}}\)

?