ile rozwiazan ma równanie

[czarny93123]

Równanie \(\displaystyle{ t _{1}+....+t _{n}=k}\) gdzie \(\displaystyle{ t _{i}}\)sa liczbami całkowitymi nieujemnymi
natomiast \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ n}\) sa całkowite dodatnie ma
a) \(\displaystyle{ {n+k \choose k}}\) rozwiazan
b)\(\displaystyle{ {n+k \choose n}}\) rozwiazan
Z góry dziekuje

[lukequaint]

Zauważ, że:
\(\displaystyle{ {n + k \choose k} = \frac{(n+k)!}{k!(n+k-k)!} = \frac{(n+k)!}{k!n!} = \frac{(n+k)!}{(n+k-n)!n!} = {n + k \choose n}}\).

Wydaje mi się, że poprawną odpowiedzią jest \(\displaystyle{ {n+k-1 \choose k }}\). Najłatwiej chyba jest rozważyć siatkę prostokąta o wymiarach \(\displaystyle{ (n-1) \times k}\). Liczba rozwiązań tego równania odpowiada liczbie dróg z jego lewego dolnego wierzchołka do prawego górnego - dozwolone ruchy to "w górę", odpowiadający zwiększeniu danej liczby o 1 oraz "w prawo", odpowiadający przejściu do następnego składnika sumy. Musimy pokonać \(\displaystyle{ n+k-1}\) odcinków i \(\displaystyle{ k}\) z nich musi prowadzić w górę.