funkcja tworząca

[wamdwbhb]

Mam znaleźć ciąg którego funkcją tworzącą jest \(\displaystyle{ \frac{1}{x ^{2} - 4x + 4 }}\)
i mam taki wzór \(\displaystyle{ \frac{1}{(1-t) ^{k} } = \sum_{n=0}^{ \infty } {n + k - 1 \choose n} t ^{n}}\)

stosuję go i dochodze do wzoru na n-ty wyraz ciągu \(\displaystyle{ a _{n} = n + 1}\)

Nie widzę nigdzie błędu w moich obliczeniach, jednak wolfram podaje inny wynik, nie wiem czy robię coś źle czy o co chodzi. Proszę o potwierdzenie mojego rozwiązania lub poprawne rozwiązanie.

[Adifek]

\(\displaystyle{ \frac{1}{x ^{2} - 4x + 4 } = \frac{1}{(2-x)^2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\left( 1- \frac{x}{2}\right)^{2} } = \frac{1}{4} \sum_{n=0}^{ \infty } {n + 2 - 1 \choose n} \left( \frac{x}{2}\right) ^{n} = \frac{1}{4} \sum_{n=0}^{ \infty } {n + 1 \choose n} \left( \frac{x}{2}\right) ^{n}= \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{n+1}{2^{n+2}}x^n}\)