Równanie rekurencyjne.

[1608]

Mam do rozwiązania równanie rekurencyjne:
\(\displaystyle{ x_{n+1}-x_{n}=n^{3}}\)
I sobie rozwiązuje równanie jednorodne:
\(\displaystyle{ q^{n+1}-q^{n}=0}\)
\(\displaystyle{ q=1}\)
\(\displaystyle{ x_{n}^{j}=A}\)

Teraz przewiduje postać równania charakterystycznego:
\(\displaystyle{ x_{n}^{i}=Bn^{3}+Cn^{2}+Dn+E}\)
Podstawiam i wychodzi po przekształceniach:
\(\displaystyle{ B((n+1)^{3}-n^{3})+C(2n+1)+D=n^{3}}\)
Co jest sprzeczne dla jakiegokolwiek \(\displaystyle{ B,C,D}\).

Jak rozwiązać to równanie?
Proszę o pomoc.

[brzoskwinka1]

\(\displaystyle{ x_n = x_0 +\sum_{j=1}^{n} (x_j -x_{j-1} ) =x_0 +\sum_{j=1}^{n} (j-1)^3 =x_0 +\left(\frac{n(n-1)}{2}\right)^2 .}\)

[1608]

Nie za bardzo rozumiem co wynika z tego wzoru. Mogę prosić o dodatkowe wyjaśnienie?

[Qń]

Jeśli część niejednorodna jest postaci \(\displaystyle{ a^n \cdot W_k(x)}\), oraz \(\displaystyle{ a}\) jest \(\displaystyle{ i}\)-krotnym pierwiastkiem równania charakterystycznego, to rozwiązanie szczególne przewidujemy w postaci:
\(\displaystyle{ a^n\cdot n^i \cdot V_k(x)}\)

U nas \(\displaystyle{ a=1}\) jest pierwiastkiem jednokrotnym, a część niejednorodna to \(\displaystyle{ 1^n \cdot n^3}\), więc rozwiązanie szczególne przewidujemy w postaci:
\(\displaystyle{ 1^n \cdot n \cdot (An^3+Bn^2+Cn+D)= n \cdot (An^3+Bn^2+Cn+D)}\)

Q.