Liczby Stirlinga

[m2m2]

Prosiłbym o dokładne wyjaśnienie, bo chcę zrozumieć te liczby Stirlinga, a najlepiej pojmuję na przykładach. Dzięki.

1. Udowodnić, że:

a)
\(\displaystyle{ \left\{ \frac{n}{n-1} \right\} = \left(\frac{n}{2} \right)}\)

b)
\(\displaystyle{ \left[ \frac{n}{n-1} \right] = \frac{n(n-1)}{2}}\)

2. Oblicz:

a)
\(\displaystyle{ \left\{ \frac{3}{2} \right\}}\)

b)
\(\displaystyle{ \left[ \frac{5}{3} \right]}\)

[yorgin]

1. b) Liczba ta opisuje permutacje mające \(\displaystyle{ n-1}\) cykli. A więc musi być ta permutacja postaci \(\displaystyle{ n-2}\) cykle jednoelementowe oraz \(\displaystyle{ 1}\) cykl będący transpozycją. Teraz już widać, że cała permutacja wyznaczona jest przez jedną transpozycje.

a) To jest nieprawdziwe.

2. Liczby są niewielkie, więc możesz albo na piechotę przeliczyć, albo zastosować wzory rekurencyjne.

[m2m2]

Na piechotę?

[yorgin]

Tzn ręcznie rozrysować wszystkie podziały lub permutacje i je policzyć. Do wyboru. Aczkolwiek pierwsza liczba pójdzie ze wzoru, który masz do wykazania w zadaniu 1.