Ile jest permutacji liczb \(\displaystyle{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}\) w których nie występują \(\displaystyle{ 12, 34, 45, 78}\) jako pociągi kolejnych wyrazów?
Wszystkie permutacje:
\(\displaystyle{ 8!}\)
Określam zdarzenie polegające na występowaniu podciągów w ciągu
\(\displaystyle{ A_{1}}\) występowanie podciągu 12
\(\displaystyle{ A_{2}}\) występowanie podciągu 34
\(\displaystyle{ A_{3}}\) występowanie podciągu 56
\(\displaystyle{ A_{4}}\) występowanie podciągu 78
\(\displaystyle{ |A_{1}|=|A_{2}|=|A_{3}|=|A_{4}|=7!}\)
\(\displaystyle{ |A_{1} \cap A_{2}|=...|A_{3} \cap A_{4}| = {4 \choose 2} 6!}\)
\(\displaystyle{ |A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3}|=...|A_{2} \cap A_{3} \cap A_{4}| = {4 \choose 3} 5!}\)
\(\displaystyle{ |A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3} \cap A_{4}|={4 \choose 4} 4!}\)
Wzór ogólny:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}(-1)^{k+1} {n \choose k} (2n-k)!}\)
Końcowy wynik:
\(\displaystyle{ 8!-\sum_{k=1}^{4}(-1)^{k+1} {4 \choose k} (8-k)!}\)
Czy rozwiązanie zadania jest poprawne?
Permutacje liczb
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
Permutacje liczb
Do tego miejsca jest dobrze.herfoo pisze: \(\displaystyle{ |A_{1}|=|A_{2}|=|A_{3}|=|A_{4}|=7!}\)
To już jest źle.herfoo pisze:\(\displaystyle{ |A_{1} \cap A_{2}|=...|A_{3} \cap A_{4}| = {4 \choose 2} 6!}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 103
- Rejestracja: 10 paź 2006, o 21:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Iłża
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 21 razy
Permutacje liczb
Więc może wytłumacze mój tok rozumowania:
\(\displaystyle{ {n \choose k}}\) - jest liczbą wszystkich możliwych przecięć dwóch zbiorów. Skoro mamy 4 zbiory i mamy z nich wybrać 2 to wynik będzie kombinacją \(\displaystyle{ {4 \choose 2}}\) Jest to zdarzenie takie, że np 12 i 34 występują jednocześnie. Zatem jeżeli one występują jednocześnie czyli możemy całość ustawić na \(\displaystyle{ 6!}\)
Analogicznie w pozostałych przypadkach.
Możesz wytłumaczyć bliżej co jest tutaj złego w tym toku rozumowania?
\(\displaystyle{ {n \choose k}}\) - jest liczbą wszystkich możliwych przecięć dwóch zbiorów. Skoro mamy 4 zbiory i mamy z nich wybrać 2 to wynik będzie kombinacją \(\displaystyle{ {4 \choose 2}}\) Jest to zdarzenie takie, że np 12 i 34 występują jednocześnie. Zatem jeżeli one występują jednocześnie czyli możemy całość ustawić na \(\displaystyle{ 6!}\)
Analogicznie w pozostałych przypadkach.
Możesz wytłumaczyć bliżej co jest tutaj złego w tym toku rozumowania?
-
- Użytkownik
- Posty: 103
- Rejestracja: 10 paź 2006, o 21:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Iłża
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 21 razy
Permutacje liczb
no to są te zbiory w któych występuje 12, 34 jednoczesnie plus reszta w dowolnej kolejnosci wiec pojedyńcze przeciecie bedzie wynosiło \(\displaystyle{ 6!}\) natomiast suma tych przecięć będzie wynosiła \(\displaystyle{ {4 \choose 2} \cdot 6!}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
Permutacje liczb
Czyli po zamianie tego:
na to:herfoo pisze: \(\displaystyle{ |A_{1} \cap A_{2}|=...|A_{3} \cap A_{4}| = {4 \choose 2} 6!}\)
\(\displaystyle{ |A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3}|=...|A_{2} \cap A_{3} \cap A_{4}| = {4 \choose 3} 5!}\)
rozwiązanie będzie dobre.\(\displaystyle{ |A_{1} \cap A_{2}|+\ldots+|A_{3} \cap A_{4}| = {4 \choose 2} 6!}\)
\(\displaystyle{ |A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3}|+\ldots+|A_{2} \cap A_{3} \cap A_{4}| = {4 \choose 3} 5!}\)