Pare zadan z dwumianem Newtwona
-
- Użytkownik
- Posty: 28
- Rejestracja: 20 paź 2012, o 14:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: tak
- Podziękował: 6 razy
Pare zadan z dwumianem Newtwona
1)Znalezc wszystkie liczby naturalne n spelniajace warunek
a)
\(\displaystyle{ {n+1\choose n-1} <21}\)
Wyszlo mi cos takiego:
\(\displaystyle{ \frac{ \left( n-1 \right) !n \left( n+1 \right) }{ \left( n-1 \right) ! \left( n+1-n+1 \right) !}<21}\)
\(\displaystyle{ \frac{n^2+n}{2}<21}\)
Probowalem z tego delte wyliczyc ale wyszlo ze jest niewymierna i nie wiem jak sie za to zabrac.
b)
\(\displaystyle{ {n+1\choose n-2}-{n+1\choose n-1}\le 100}\)
2)Liczby \(\displaystyle{ A={36\choose 33}+{36\choose 34}}\)
\(\displaystyle{ B={35\choose 33}+{35\choose 34}+{36\choose 33}}\)
\(\displaystyle{ C={35\choose 3}+2{35\choose 34}{35\choose 5}}\)
Zapisac w postaci \(\displaystyle{ {n\choose k}}\) i wykazac ze dziela sie przez 37 i 111.
Z moich obliczen:
A)
\(\displaystyle{ A={36\choose 33}+{36\choose 34}}\)=\(\displaystyle{ A={37\choose 34}=\frac{37 \cdot 36 \cdot 35}{3 \cdot 2 \cdot 1}=37 \left( 6 \cdot 35 \right) =111 \left( 2 \cdot 35 \right)}\)
B)
\(\displaystyle{ B={35\choose 33}+{35\choose 34}+{36\choose 33}={36\choose 34}+{36\choose 33}={37\choose 34}}\) i dalej jak w A
C)
\(\displaystyle{ C={35\choose 3}+2{35\choose 34}{35\choose 5}={35\choose 3}+{35\choose 4}+{35\choose 4}+{35\choose 5}={37\choose 5}=\frac{37 \cdot 36 \cdot 35 \cdot 34 \cdot 33}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}=37 \left( 36 \cdot 7 \cdot 17 \cdot 33 \right) =111 \left( 12 \cdot 7 \cdot 17 \cdot 33 \right)}\)
3)Wykazac ze 81-szy wyraz dwumianu \(\displaystyle{ \left( \sqrt{x}+\sqrt[4]{5} \right) ^{120}}\) dzieli sie przez \(\displaystyle{ 10^{20}}\)
Nie mam pojecia jak sie za to zabrac.
4)Znalezc 34 wyraz rozwiniecia \(\displaystyle{ \left( x-\frac{1}{x} \right) ^{77}}\)
Wyszlo mi tak:
\(\displaystyle{ -{77\choose 33}x^{34} \cdot \left( x^{-1} \right) ^{33}=-{77\choose 33}x}\) A powinno \(\displaystyle{ -{77\choose 33}x^{11}}\)
a)
\(\displaystyle{ {n+1\choose n-1} <21}\)
Wyszlo mi cos takiego:
\(\displaystyle{ \frac{ \left( n-1 \right) !n \left( n+1 \right) }{ \left( n-1 \right) ! \left( n+1-n+1 \right) !}<21}\)
\(\displaystyle{ \frac{n^2+n}{2}<21}\)
Probowalem z tego delte wyliczyc ale wyszlo ze jest niewymierna i nie wiem jak sie za to zabrac.
b)
\(\displaystyle{ {n+1\choose n-2}-{n+1\choose n-1}\le 100}\)
2)Liczby \(\displaystyle{ A={36\choose 33}+{36\choose 34}}\)
\(\displaystyle{ B={35\choose 33}+{35\choose 34}+{36\choose 33}}\)
\(\displaystyle{ C={35\choose 3}+2{35\choose 34}{35\choose 5}}\)
Zapisac w postaci \(\displaystyle{ {n\choose k}}\) i wykazac ze dziela sie przez 37 i 111.
Z moich obliczen:
A)
\(\displaystyle{ A={36\choose 33}+{36\choose 34}}\)=\(\displaystyle{ A={37\choose 34}=\frac{37 \cdot 36 \cdot 35}{3 \cdot 2 \cdot 1}=37 \left( 6 \cdot 35 \right) =111 \left( 2 \cdot 35 \right)}\)
B)
\(\displaystyle{ B={35\choose 33}+{35\choose 34}+{36\choose 33}={36\choose 34}+{36\choose 33}={37\choose 34}}\) i dalej jak w A
C)
\(\displaystyle{ C={35\choose 3}+2{35\choose 34}{35\choose 5}={35\choose 3}+{35\choose 4}+{35\choose 4}+{35\choose 5}={37\choose 5}=\frac{37 \cdot 36 \cdot 35 \cdot 34 \cdot 33}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}=37 \left( 36 \cdot 7 \cdot 17 \cdot 33 \right) =111 \left( 12 \cdot 7 \cdot 17 \cdot 33 \right)}\)
3)Wykazac ze 81-szy wyraz dwumianu \(\displaystyle{ \left( \sqrt{x}+\sqrt[4]{5} \right) ^{120}}\) dzieli sie przez \(\displaystyle{ 10^{20}}\)
Nie mam pojecia jak sie za to zabrac.
4)Znalezc 34 wyraz rozwiniecia \(\displaystyle{ \left( x-\frac{1}{x} \right) ^{77}}\)
Wyszlo mi tak:
\(\displaystyle{ -{77\choose 33}x^{34} \cdot \left( x^{-1} \right) ^{33}=-{77\choose 33}x}\) A powinno \(\displaystyle{ -{77\choose 33}x^{11}}\)
Ostatnio zmieniony 30 lis 2013, o 15:15 przez Vardamir, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot. Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach[latex] [/latex] .
Powód: Symbol mnożenia to \cdot. Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach
- Vardamir
- Użytkownik
- Posty: 1913
- Rejestracja: 3 wrz 2010, o 22:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 410 razy
Pare zadan z dwumianem Newtwona
Rozwiąż z niewymierną, a następnie weź z rozwiązania tylko liczby naturalne.santana011 pisze: Probowalem z tego delte wyliczyc ale wyszlo ze jest niewymierna i nie wiem jak sie za to zabrac.
A jak ten wyraz wygląda?santana011 pisze: Nie mam pojecia jak sie za to zabrac.
Zadania 2,4 są ok.
-
- Użytkownik
- Posty: 199
- Rejestracja: 24 maja 2012, o 23:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 30 razy
Pare zadan z dwumianem Newtwona
1. Nikt nie mówi, że ma wyjść wymierna. Jeżeli wynik wychodziłby 5,124 - to ile liczb naturalnych znajduje się między \(\displaystyle{ [0;5,124]}\)?
3. Tu : 350460.htm ostatnio było podobne zadanie.
3. Tu : 350460.htm ostatnio było podobne zadanie.
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Pare zadan z dwumianem Newtwona
Suma wykładników w wypisanym wyrazie nie sumuje się do \(\displaystyle{ 77}\).santana011 pisze: 4)Znalezc 34 wyraz rozwiniecia \(\displaystyle{ \left( x-\frac{1}{x} \right) ^{77}}\)
Wyszlo mi tak:
\(\displaystyle{ -{77\choose 33}x^{34} \cdot \left( x^{-1} \right) ^{33}=-{77\choose 33}x}\) A powinno \(\displaystyle{ -{77\choose 33}x^{11}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 28
- Rejestracja: 20 paź 2012, o 14:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: tak
- Podziękował: 6 razy
Pare zadan z dwumianem Newtwona
Z delty wyszly mi 2 rozwiazania -4 i 3 (po zaokragleniu).Czyli samo 3 i co z tym dalej?Vardamir pisze:Rozwiąż z niewymierną, a następnie weź z rozwiązania tylko liczby naturalne.santana011 pisze: Probowalem z tego delte wyliczyc ale wyszlo ze jest niewymierna i nie wiem jak sie za to zabrac.santana011 pisze: Nie mam pojecia jak sie za to zabrac.
Zadania 2,4 są ok.
Wedlug mnie tak:A jak ten wyraz wygląda?
\(\displaystyle{ {120\choose 80}x^{20}*5^{20}}\)
Nie bardzo rozumiem, powinna czy nie powinna sie sumowac do 77?Suma wykładników w wypisanym wyrazie nie sumuje się do 77.
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Pare zadan z dwumianem Newtwona
Sprawdź więc raz jeszcze, jak wygląda rozwinięcie dwumianowe.santana011 pisze: Nie bardzo rozumiem, powinna czy nie powinna sie sumowac do 77?
-
- Użytkownik
- Posty: 28
- Rejestracja: 20 paź 2012, o 14:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: tak
- Podziękował: 6 razy
Pare zadan z dwumianem Newtwona
Aaa, tam powinno byc \(\displaystyle{ -{77\choose 33}x^{44}}\) bo \(\displaystyle{ n-k}\).I tak gwoli scislosci \(\displaystyle{ k=33}\) czy \(\displaystyle{ k=34}\)?Bo troche mi sie to myli, w tresci jest znalezc \(\displaystyle{ 34}\) wyraz a podstawilem \(\displaystyle{ k=33}\) na podstawie odpowiedziyorgin pisze:Suma wykładników w wypisanym wyrazie nie sumuje się do \(\displaystyle{ 77}\).santana011 pisze: 4)Znalezc 34 wyraz rozwiniecia \(\displaystyle{ \left( x-\frac{1}{x} \right) ^{77}}\)
Wyszlo mi tak:
\(\displaystyle{ -{77\choose 33}x^{34} \cdot \left( x^{-1} \right) ^{33}=-{77\choose 33}x}\) A powinno \(\displaystyle{ -{77\choose 33}x^{11}}\)
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Pare zadan z dwumianem Newtwona
Trzydziesty czwarty wyraz to trzydziesta czwarta liczba ze zbioru \(\displaystyle{ \{0,\ldots 77\}}\), z którego kolejno podstawiasz \(\displaystyle{ k}\). A więc tak, \(\displaystyle{ k=33}\).
- Vardamir
- Użytkownik
- Posty: 1913
- Rejestracja: 3 wrz 2010, o 22:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 410 razy
Pare zadan z dwumianem Newtwona
Dobrze. Mamy pokazać, że jest podzielne przez \(\displaystyle{ 10^{20}}\) czyli \(\displaystyle{ 2^{20}\cdot 5^{20}}\). Drugi czynnik mamy z głowy. Wystarczy pokazać, że \(\displaystyle{ {120\choose 80}}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 2^{20}}\).santana011 pisze: Wedlug mnie tak:
\(\displaystyle{ {120\choose 80}x^{20} \cdot 5^{20}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 28
- Rejestracja: 20 paź 2012, o 14:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: tak
- Podziękował: 6 razy
Pare zadan z dwumianem Newtwona
Wyszlo mi ale strasznie niepraktycznym sposobem:Vardamir pisze:Dobrze. Mamy pokazać, że jest podzielne przez \(\displaystyle{ 10^{20}}\) czyli \(\displaystyle{ 2^{20}\cdot 5^{20}}\). Drugi czynnik mamy z głowy. Wystarczy pokazać, że \(\displaystyle{ {120\choose 80}}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 2^{20}}\).santana011 pisze: Wedlug mnie tak:
\(\displaystyle{ {120\choose 80}x^{20} \cdot 5^{20}}\)
\(\displaystyle{ {120\choose 80}=\frac{80! \cdot 81 \cdot 82 \cdot ... \cdot 120}{80!}=96\cdot92\cdot100\cdot102\cdot88\cdot104\cdot108\cdot112\cdot reszta skladnikow=
(32\cdot4\cdot4\cdot2)\cdot3\cdot23\cdot25\cdot56\cdot(8\cdot8\cdot4\cdot4)\cdot11\cdot13\cdot27\cdot28\cdot reszta skladnikow=
1024\cdot3\cdot23\cdot25\cdot56\cdot1024\cdot11\cdot13\cdot27\cdot28\cdot reszta skladnikow=2^{10}\cdot2^{10}\cdot3\cdot23\cdot25\cdot56\cdot11\cdot13\cdot27\cdot28\cdot reszta skladnikow=
2^{20}\cdot 5^{20} \cdot reszta skladnikow \cdot =
10^{20}\cdot (x^{20} \cdot reszta skladnikow)}\)
Nie ma jakiegos lepszego sposobu na tego typu zadania?No i caly czas nie mam pojecia co z 1szym zadaniem
-- 30 lis 2013, o 19:56 --
Doszlo pare nowych zadan:
5)
W rozwinieciu dwumianu \(\displaystyle{ (\frac{x}{2}-\frac{8}{x})^{88}}\) znalezc wspolczynnik przy \(\displaystyle{ x^{22}}\)
Wychodzi mi cos takiego:
\(\displaystyle{ {88\choose k}(\frac{x}{2})^{88-k}\cdot (\frac{8}{x})^k=x^{22}}\)
I tu nie za bardzo wiem jak to sprowadzic do tej samej podstawy.
\(\displaystyle{ \frac{x^{88-k} \cdot 2^{3k}}{2^{88-k}\cdot x^k}=x^{22}
x^{88-k-k}\cdot2^{3k-88+k}=
x^{22}
x^{88-2k}\cdot2^{4k-88}=x^{22}}\)
- vpprof
- Użytkownik
- Posty: 492
- Rejestracja: 11 paź 2012, o 11:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 26 razy
- Pomógł: 64 razy
Pare zadan z dwumianem Newtwona
Nie wiem w jaki sposób ci wyszła tu niewymierna delta. Zresztą nawet gdyby była niewymierna, nic by to nie oznaczało, bo to jest nierówność, czyli na przykład \(\displaystyle{ n<\pi}\) oznaczałoby \(\displaystyle{ n \in \left\{ 0,1,2,3\right\}}\). Ale tutaj \(\displaystyle{ \Delta=1^2-4 \cdot 1 \cdot \left( -42\right) =169}\), z czego pierwiastek to \(\displaystyle{ 13}\), więc \(\displaystyle{ n^2+n-42=\left( n+7\right) \left( n-6\right)}\) i to ma być mniejsze od zera, czyli albo \(\displaystyle{ n<-7}\) albo \(\displaystyle{ n<6}\)… A że masz znaleźć wszystkie liczby naturalne, to…santana011 pisze:1)Znalezc wszystkie liczby naturalne n spelniajace warunek
a)
\(\displaystyle{ {n+1\choose n-1} <21}\)
Wyszlo mi cos takiego:
\(\displaystyle{ \frac{ \left( n-1 \right) !n \left( n+1 \right) }{ \left( n-1 \right) ! \left( n+1-n+1 \right) !}<21}\)
\(\displaystyle{ \frac{n^2+n}{2}<21}\)
Probowalem z tego delte wyliczyc ale wyszlo ze jest niewymierna i nie wiem jak sie za to zabrac.
-
- Użytkownik
- Posty: 28
- Rejestracja: 20 paź 2012, o 14:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: tak
- Podziękował: 6 razy
Pare zadan z dwumianem Newtwona
Delta mi uparcie wychodziła 40-coś, nie wiem jak ja to liczylem.Dzieki za rozwiazanie i podpowiedz z tymi niewymiernymi.vpprof pisze:Nie wiem w jaki sposób ci wyszła tu niewymierna delta. Zresztą nawet gdyby była niewymierna, nic by to nie oznaczało, bo to jest nierówność, czyli na przykład \(\displaystyle{ n<\pi}\) oznaczałoby \(\displaystyle{ n \in \left\{ 0,1,2,3\right\}}\). Ale tutaj \(\displaystyle{ \Delta=1^2-4 \cdot 1 \cdot \left( -42\right) =169}\), z czego pierwiastek to \(\displaystyle{ 13}\), więc \(\displaystyle{ n^2+n-42=\left( n+7\right) \left( n-6\right)}\) i to ma być mniejsze od zera, czyli albo \(\displaystyle{ n<-7}\) albo \(\displaystyle{ n<6}\)… A że masz znaleźć wszystkie liczby naturalne, to…santana011 pisze:1)Znalezc wszystkie liczby naturalne n spelniajace warunek
a)
\(\displaystyle{ {n+1\choose n-1} <21}\)
Wyszlo mi cos takiego:
\(\displaystyle{ \frac{ \left( n-1 \right) !n \left( n+1 \right) }{ \left( n-1 \right) ! \left( n+1-n+1 \right) !}<21}\)
\(\displaystyle{ \frac{n^2+n}{2}<21}\)
Probowalem z tego delte wyliczyc ale wyszlo ze jest niewymierna i nie wiem jak sie za to zabrac.
- kropka+
- Użytkownik
- Posty: 4389
- Rejestracja: 16 wrz 2010, o 14:54
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 787 razy
Pare zadan z dwumianem Newtwona
?vpprof pisze:\(\displaystyle{ \left( n+7\right) \left( n-6\right)}\) i to ma być mniejsze od zera, czyli albo \(\displaystyle{ n<-7}\) albo \(\displaystyle{ n<6}\)
- vpprof
- Użytkownik
- Posty: 492
- Rejestracja: 11 paź 2012, o 11:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 26 razy
- Pomógł: 64 razy
Pare zadan z dwumianem Newtwona
Tu raczej jest wszystko jasne, jeśli liczymy na liczbach rzeczywistych. Iloczyn dwóch liczb może być wtedy tylko ujemny, gdy jedna z nich jest ujemna.kropka+ pisze:?vpprof pisze:\(\displaystyle{ \left( n+7\right) \left( n-6\right)}\) i to ma być mniejsze od zera, czyli albo \(\displaystyle{ n<-7}\) albo \(\displaystyle{ n<6}\)