Pare zadan z dwumianem Newtwona

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
santana011
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 20 paź 2012, o 14:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: tak
Podziękował: 6 razy

Pare zadan z dwumianem Newtwona

Post autor: santana011 »

1)Znalezc wszystkie liczby naturalne n spelniajace warunek
a)
\(\displaystyle{ {n+1\choose n-1} <21}\)
Wyszlo mi cos takiego:
\(\displaystyle{ \frac{ \left( n-1 \right) !n \left( n+1 \right) }{ \left( n-1 \right) ! \left( n+1-n+1 \right) !}<21}\)
\(\displaystyle{ \frac{n^2+n}{2}<21}\)
Probowalem z tego delte wyliczyc ale wyszlo ze jest niewymierna i nie wiem jak sie za to zabrac.

b)
\(\displaystyle{ {n+1\choose n-2}-{n+1\choose n-1}\le 100}\)

2)Liczby \(\displaystyle{ A={36\choose 33}+{36\choose 34}}\)
\(\displaystyle{ B={35\choose 33}+{35\choose 34}+{36\choose 33}}\)

\(\displaystyle{ C={35\choose 3}+2{35\choose 34}{35\choose 5}}\)
Zapisac w postaci \(\displaystyle{ {n\choose k}}\) i wykazac ze dziela sie przez 37 i 111.

Z moich obliczen:
A)
\(\displaystyle{ A={36\choose 33}+{36\choose 34}}\)=\(\displaystyle{ A={37\choose 34}=\frac{37 \cdot 36 \cdot 35}{3 \cdot 2 \cdot 1}=37 \left( 6 \cdot 35 \right) =111 \left( 2 \cdot 35 \right)}\)

B)
\(\displaystyle{ B={35\choose 33}+{35\choose 34}+{36\choose 33}={36\choose 34}+{36\choose 33}={37\choose 34}}\) i dalej jak w A

C)
\(\displaystyle{ C={35\choose 3}+2{35\choose 34}{35\choose 5}={35\choose 3}+{35\choose 4}+{35\choose 4}+{35\choose 5}={37\choose 5}=\frac{37 \cdot 36 \cdot 35 \cdot 34 \cdot 33}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}=37 \left( 36 \cdot 7 \cdot 17 \cdot 33 \right) =111 \left( 12 \cdot 7 \cdot 17 \cdot 33 \right)}\)

3)Wykazac ze 81-szy wyraz dwumianu \(\displaystyle{ \left( \sqrt{x}+\sqrt[4]{5} \right) ^{120}}\) dzieli sie przez \(\displaystyle{ 10^{20}}\)
Nie mam pojecia jak sie za to zabrac.

4)Znalezc 34 wyraz rozwiniecia \(\displaystyle{ \left( x-\frac{1}{x} \right) ^{77}}\)
Wyszlo mi tak:
\(\displaystyle{ -{77\choose 33}x^{34} \cdot \left( x^{-1} \right) ^{33}=-{77\choose 33}x}\) A powinno \(\displaystyle{ -{77\choose 33}x^{11}}\)
Ostatnio zmieniony 30 lis 2013, o 15:15 przez Vardamir, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot. Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach [latex] [/latex].
Awatar użytkownika
Vardamir
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1913
Rejestracja: 3 wrz 2010, o 22:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 410 razy

Pare zadan z dwumianem Newtwona

Post autor: Vardamir »

santana011 pisze: Probowalem z tego delte wyliczyc ale wyszlo ze jest niewymierna i nie wiem jak sie za to zabrac.
Rozwiąż z niewymierną, a następnie weź z rozwiązania tylko liczby naturalne.
santana011 pisze: Nie mam pojecia jak sie za to zabrac.
A jak ten wyraz wygląda?


Zadania 2,4 są ok.
lemoid
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 199
Rejestracja: 24 maja 2012, o 23:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 30 razy

Pare zadan z dwumianem Newtwona

Post autor: lemoid »

1. Nikt nie mówi, że ma wyjść wymierna. Jeżeli wynik wychodziłby 5,124 - to ile liczb naturalnych znajduje się między \(\displaystyle{ [0;5,124]}\)?
3. Tu : 350460.htm ostatnio było podobne zadanie.
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Pare zadan z dwumianem Newtwona

Post autor: yorgin »

santana011 pisze: 4)Znalezc 34 wyraz rozwiniecia \(\displaystyle{ \left( x-\frac{1}{x} \right) ^{77}}\)
Wyszlo mi tak:
\(\displaystyle{ -{77\choose 33}x^{34} \cdot \left( x^{-1} \right) ^{33}=-{77\choose 33}x}\) A powinno \(\displaystyle{ -{77\choose 33}x^{11}}\)
Suma wykładników w wypisanym wyrazie nie sumuje się do \(\displaystyle{ 77}\).
santana011
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 20 paź 2012, o 14:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: tak
Podziękował: 6 razy

Pare zadan z dwumianem Newtwona

Post autor: santana011 »

Vardamir pisze:
santana011 pisze: Probowalem z tego delte wyliczyc ale wyszlo ze jest niewymierna i nie wiem jak sie za to zabrac.
Rozwiąż z niewymierną, a następnie weź z rozwiązania tylko liczby naturalne.
santana011 pisze: Nie mam pojecia jak sie za to zabrac.

Zadania 2,4 są ok.
Z delty wyszly mi 2 rozwiazania -4 i 3 (po zaokragleniu).Czyli samo 3 i co z tym dalej?

A jak ten wyraz wygląda?
Wedlug mnie tak:
\(\displaystyle{ {120\choose 80}x^{20}*5^{20}}\)
Suma wykładników w wypisanym wyrazie nie sumuje się do 77.
Nie bardzo rozumiem, powinna czy nie powinna sie sumowac do 77?
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Pare zadan z dwumianem Newtwona

Post autor: yorgin »

santana011 pisze: Nie bardzo rozumiem, powinna czy nie powinna sie sumowac do 77?
Sprawdź więc raz jeszcze, jak wygląda rozwinięcie dwumianowe.
santana011
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 20 paź 2012, o 14:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: tak
Podziękował: 6 razy

Pare zadan z dwumianem Newtwona

Post autor: santana011 »

yorgin pisze:
santana011 pisze: 4)Znalezc 34 wyraz rozwiniecia \(\displaystyle{ \left( x-\frac{1}{x} \right) ^{77}}\)
Wyszlo mi tak:
\(\displaystyle{ -{77\choose 33}x^{34} \cdot \left( x^{-1} \right) ^{33}=-{77\choose 33}x}\) A powinno \(\displaystyle{ -{77\choose 33}x^{11}}\)
Suma wykładników w wypisanym wyrazie nie sumuje się do \(\displaystyle{ 77}\).
Aaa, tam powinno byc \(\displaystyle{ -{77\choose 33}x^{44}}\) bo \(\displaystyle{ n-k}\).I tak gwoli scislosci \(\displaystyle{ k=33}\) czy \(\displaystyle{ k=34}\)?Bo troche mi sie to myli, w tresci jest znalezc \(\displaystyle{ 34}\) wyraz a podstawilem \(\displaystyle{ k=33}\) na podstawie odpowiedzi
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Pare zadan z dwumianem Newtwona

Post autor: yorgin »

Trzydziesty czwarty wyraz to trzydziesta czwarta liczba ze zbioru \(\displaystyle{ \{0,\ldots 77\}}\), z którego kolejno podstawiasz \(\displaystyle{ k}\). A więc tak, \(\displaystyle{ k=33}\).
Awatar użytkownika
Vardamir
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1913
Rejestracja: 3 wrz 2010, o 22:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 410 razy

Pare zadan z dwumianem Newtwona

Post autor: Vardamir »

santana011 pisze: Wedlug mnie tak:
\(\displaystyle{ {120\choose 80}x^{20} \cdot 5^{20}}\)
Dobrze. Mamy pokazać, że jest podzielne przez \(\displaystyle{ 10^{20}}\) czyli \(\displaystyle{ 2^{20}\cdot 5^{20}}\). Drugi czynnik mamy z głowy. Wystarczy pokazać, że \(\displaystyle{ {120\choose 80}}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 2^{20}}\).
santana011
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 20 paź 2012, o 14:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: tak
Podziękował: 6 razy

Pare zadan z dwumianem Newtwona

Post autor: santana011 »

Vardamir pisze:
santana011 pisze: Wedlug mnie tak:
\(\displaystyle{ {120\choose 80}x^{20} \cdot 5^{20}}\)
Dobrze. Mamy pokazać, że jest podzielne przez \(\displaystyle{ 10^{20}}\) czyli \(\displaystyle{ 2^{20}\cdot 5^{20}}\). Drugi czynnik mamy z głowy. Wystarczy pokazać, że \(\displaystyle{ {120\choose 80}}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 2^{20}}\).
Wyszlo mi ale strasznie niepraktycznym sposobem:
\(\displaystyle{ {120\choose 80}=\frac{80! \cdot 81 \cdot 82 \cdot ... \cdot 120}{80!}=96\cdot92\cdot100\cdot102\cdot88\cdot104\cdot108\cdot112\cdot reszta skladnikow=
(32\cdot4\cdot4\cdot2)\cdot3\cdot23\cdot25\cdot56\cdot(8\cdot8\cdot4\cdot4)\cdot11\cdot13\cdot27\cdot28\cdot reszta skladnikow=
1024\cdot3\cdot23\cdot25\cdot56\cdot1024\cdot11\cdot13\cdot27\cdot28\cdot reszta skladnikow=2^{10}\cdot2^{10}\cdot3\cdot23\cdot25\cdot56\cdot11\cdot13\cdot27\cdot28\cdot reszta skladnikow=
2^{20}\cdot 5^{20} \cdot reszta skladnikow \cdot =
10^{20}\cdot (x^{20} \cdot reszta skladnikow)}\)


Nie ma jakiegos lepszego sposobu na tego typu zadania?No i caly czas nie mam pojecia co z 1szym zadaniem

-- 30 lis 2013, o 19:56 --

Doszlo pare nowych zadan:
5)
W rozwinieciu dwumianu \(\displaystyle{ (\frac{x}{2}-\frac{8}{x})^{88}}\) znalezc wspolczynnik przy \(\displaystyle{ x^{22}}\)
Wychodzi mi cos takiego:
\(\displaystyle{ {88\choose k}(\frac{x}{2})^{88-k}\cdot (\frac{8}{x})^k=x^{22}}\)
I tu nie za bardzo wiem jak to sprowadzic do tej samej podstawy.
\(\displaystyle{ \frac{x^{88-k} \cdot 2^{3k}}{2^{88-k}\cdot x^k}=x^{22}
x^{88-k-k}\cdot2^{3k-88+k}=
x^{22}
x^{88-2k}\cdot2^{4k-88}=x^{22}}\)
Awatar użytkownika
vpprof
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 492
Rejestracja: 11 paź 2012, o 11:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 64 razy

Pare zadan z dwumianem Newtwona

Post autor: vpprof »

santana011 pisze:1)Znalezc wszystkie liczby naturalne n spelniajace warunek
a)
\(\displaystyle{ {n+1\choose n-1} <21}\)
Wyszlo mi cos takiego:
\(\displaystyle{ \frac{ \left( n-1 \right) !n \left( n+1 \right) }{ \left( n-1 \right) ! \left( n+1-n+1 \right) !}<21}\)
\(\displaystyle{ \frac{n^2+n}{2}<21}\)
Probowalem z tego delte wyliczyc ale wyszlo ze jest niewymierna i nie wiem jak sie za to zabrac.
Nie wiem w jaki sposób ci wyszła tu niewymierna delta. Zresztą nawet gdyby była niewymierna, nic by to nie oznaczało, bo to jest nierówność, czyli na przykład \(\displaystyle{ n<\pi}\) oznaczałoby \(\displaystyle{ n \in \left\{ 0,1,2,3\right\}}\). Ale tutaj \(\displaystyle{ \Delta=1^2-4 \cdot 1 \cdot \left( -42\right) =169}\), z czego pierwiastek to \(\displaystyle{ 13}\), więc \(\displaystyle{ n^2+n-42=\left( n+7\right) \left( n-6\right)}\) i to ma być mniejsze od zera, czyli albo \(\displaystyle{ n<-7}\) albo \(\displaystyle{ n<6}\)… A że masz znaleźć wszystkie liczby naturalne, to…
santana011
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 20 paź 2012, o 14:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: tak
Podziękował: 6 razy

Pare zadan z dwumianem Newtwona

Post autor: santana011 »

vpprof pisze:
santana011 pisze:1)Znalezc wszystkie liczby naturalne n spelniajace warunek
a)
\(\displaystyle{ {n+1\choose n-1} <21}\)
Wyszlo mi cos takiego:
\(\displaystyle{ \frac{ \left( n-1 \right) !n \left( n+1 \right) }{ \left( n-1 \right) ! \left( n+1-n+1 \right) !}<21}\)
\(\displaystyle{ \frac{n^2+n}{2}<21}\)
Probowalem z tego delte wyliczyc ale wyszlo ze jest niewymierna i nie wiem jak sie za to zabrac.
Nie wiem w jaki sposób ci wyszła tu niewymierna delta. Zresztą nawet gdyby była niewymierna, nic by to nie oznaczało, bo to jest nierówność, czyli na przykład \(\displaystyle{ n<\pi}\) oznaczałoby \(\displaystyle{ n \in \left\{ 0,1,2,3\right\}}\). Ale tutaj \(\displaystyle{ \Delta=1^2-4 \cdot 1 \cdot \left( -42\right) =169}\), z czego pierwiastek to \(\displaystyle{ 13}\), więc \(\displaystyle{ n^2+n-42=\left( n+7\right) \left( n-6\right)}\) i to ma być mniejsze od zera, czyli albo \(\displaystyle{ n<-7}\) albo \(\displaystyle{ n<6}\)… A że masz znaleźć wszystkie liczby naturalne, to…
Delta mi uparcie wychodziła 40-coś, nie wiem jak ja to liczylem.Dzieki za rozwiazanie i podpowiedz z tymi niewymiernymi.
Awatar użytkownika
kropka+
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4389
Rejestracja: 16 wrz 2010, o 14:54
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 787 razy

Pare zadan z dwumianem Newtwona

Post autor: kropka+ »

vpprof pisze:\(\displaystyle{ \left( n+7\right) \left( n-6\right)}\) i to ma być mniejsze od zera, czyli albo \(\displaystyle{ n<-7}\) albo \(\displaystyle{ n<6}\)
?
Awatar użytkownika
vpprof
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 492
Rejestracja: 11 paź 2012, o 11:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 64 razy

Pare zadan z dwumianem Newtwona

Post autor: vpprof »

kropka+ pisze:
vpprof pisze:\(\displaystyle{ \left( n+7\right) \left( n-6\right)}\) i to ma być mniejsze od zera, czyli albo \(\displaystyle{ n<-7}\) albo \(\displaystyle{ n<6}\)
?
Tu raczej jest wszystko jasne, jeśli liczymy na liczbach rzeczywistych. Iloczyn dwóch liczb może być wtedy tylko ujemny, gdy jedna z nich jest ujemna.
Awatar użytkownika
kropka+
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4389
Rejestracja: 16 wrz 2010, o 14:54
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 787 razy

Pare zadan z dwumianem Newtwona

Post autor: kropka+ »

Jasne jest, że \(\displaystyle{ n \in (-7,6)}\)
ODPOWIEDZ