Dwumian Newtona

[Neokokaina]

Mam problem z udowodnieniem zadania z dwumianem Newtona. Prosiłbym kogoś o jego rozwiązanie i przedstawienie swojego toku rozumowania.

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} {k \choose 2} = {n+1 \choose 3}}\)

[yorgin]

Rozwiązania nie będzie, za to będzie wskazówka - indukcja matematyczna plus tożsamość

\(\displaystyle{ {k\choose \ell}+{k \choose \ell+1}={k+1\choose \ell+1}}\).

[Neokokaina]

Hmm.. Wyszło mi, ale chciałbym się upewnić czy taki zapis jest poprawny:

Zał.: \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}}\) \(\displaystyle{ {k \choose 2}}\) \(\displaystyle{ =}\) \(\displaystyle{ {n+1 \choose 3}}\) , \(\displaystyle{ n \ge 2}\), \(\displaystyle{ n \in N}\)

Teza: \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n+1}}\) \(\displaystyle{ {k \choose 2}}\) \(\displaystyle{ =}\) \(\displaystyle{ {n+2 \choose 3}}\)

\(\displaystyle{ L=}\)\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n+1}}\) \(\displaystyle{ {k \choose 2}}\) \(\displaystyle{ =}\) \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}}\) \(\displaystyle{ {k \choose 2}}\) \(\displaystyle{ +}\) \(\displaystyle{ {n+1 \choose 2}}\) korzystam z założenia indukcyjnego \(\displaystyle{ =}\) \(\displaystyle{ {n+1 \choose 3}}\) \(\displaystyle{ +}\) \(\displaystyle{ {n+1 \choose 2}}\) \(\displaystyle{ =}\) \(\displaystyle{ {n+2 \choose 3}}\) #

[Ponewor]

dobrze pod warunkiem, że policzysz i pokażesz, że to jest prawdziwe dla \(\displaystyle{ n=2}\)
w tej sumie po lewej stronie pojawia się podejrzane \(\displaystyle{ {1 \choose 2}}\)

[Neokokaina]

A czy zastosowanie dla większego "bezpieczeństwa" \(\displaystyle{ n>2}\) wpłynęłoby na prawdziwość dowodu i poprawność jego udowodnienia ?

[Ponewor]

Wspomniany przeze mnie wyraz nadal się pojawi. Po prostu teza jest nie tak zapisana. Ma być
\(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{n} {k \choose 2} = {n+1 \choose 3}}\)