Mamy 4 urny, w urnie k-tej jest k kul czarnych...

[suzzi]

Mamy \(\displaystyle{ 4}\) urny, a w każdej z nich po \(\displaystyle{ 4}\) kule, przy czym w urnie \(\displaystyle{ k}\)-tej jest \(\displaystyle{ k}\) kul czarnych i \(\displaystyle{ (4-k)}\) kul białych. Wybieramy przypadkowo (z równym prawdopodobieństwem wyboru) jedną z \(\displaystyle{ 4}\) urn. Z wybranej urny wyciągnęliśmy kulę czarną. Odkładamy ją na bok i z tej samej urny ciągniemy drugą kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyciągniemy znów kulę czarną?

Odpowiedź prawidłowa wg klucza odpowiedzi to \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\). Niestety, nie udaje mi się uzyskać takiego wyniku - może ktoś pomoże?

[piasek101]

Pokaż jak robisz - też nie mam takiego wyniku.

[suzzi]

Pokaż jak robisz - też nie mam takiego wyniku.

Suma:
\(\displaystyle{ \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot 0}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{4} \cdot \frac{3}{3}}\)
daje \(\displaystyle{ \frac{5}{12}}\)

[mat_61]

Wg mnie to jest poprawna odpowiedź.

[piasek101]

Interpretowałem treść trochę inaczej - wyciągnęli czarną bez żadnego prawdopodobieństwa i zostało 3 kule w urnie.

[mat_61]

W takiej sytuacji od razu mogłoby być w każdej urnie o jedną czarną kulę mniej.

Ja czasownik wyciągnęliśmy, użyty w zdaniu "Z wybranej urny wyciągnęliśmy kulę czarną." traktuję jako synonim czasownika wylosowaliśmy (tym bardziej, że w dwóch kolejnych zdaniach w których z pewnością chodzi o losowanie zostały użyte czasowniki ciągnąć i wyciągnąć).

[piasek101]

No to różnimy się w interpretacji.

[mat_61]

Zdarza się.

Zawsze można napisać dwa rozwiązania z podaniem interpretacji.

[suzzi]

Dziękuję Panowie za zainteresowanie się tym zadaniem,

jeśli potraktujemy zdanie wyciągnęliśmy kulę czarną z pierwszej urny jako prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ =1}\) w pierwszym ciągnieniu, to wówczas obliczam w sposób następujący:

Suma:
\(\displaystyle{ 1/4*1*0+
1/4*1*1/3+
1/4*1*2/3+
1/4*1*1}\)
daje \(\displaystyle{ 1/2}\)

Problem w tym, że nadal jest to \(\displaystyle{ \neq 2/3}\). Czy wg Was \(\displaystyle{ 2/3}\) na \(\displaystyle{ 100 \%}\) jest złą odpowiedzią?

[piasek101]

Wg mnie tak - ale nie jestem obiektywny (bo mi tak wyszło)

[madziszyn]

odświeżam jeśli uwzględnimy rozróżnienie kul, wyjdzie nam \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\).

w pierwszej urnie jest 1 kula czarna i 3 białe,
w drugiej urnie sa 2 kule czarne i 2 kule białe,
w trzeciej urnie sa 3 kule czarne i 1 kula biała,
w czwartej urnie sa 4 kule czarne

Na ile B różnych sposobów można wybrać czarną kulę, po czym dobrać jeszcze jedną czarną kulę.
\(\displaystyle{ B = 1 \cdot 0 + 2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 4 \cdot 3 = 20}\)
Na ile K różnych sposobów można wybrać czarną kulę, po czym dobrać dowolną kulę?
\(\displaystyle{ K =1 \cdot 3 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3 + 4 \cdot 3 = 30}\)

Szukane p-stwo to \(\displaystyle{ \frac{B}{K} = \frac{2}{3}}\)

innego pomysłu nie mam na taki wynik