rozmieszczenie uporządkowane a kombinacja z powtórzeniami

Mad_Man · Post autor: **Mad_Man** » 21 lis 2013, o 09:50

Mam 2 zadania, które rozwiązuje się tak samo, ale nie mogę tego intuicyjnie zrozumieć.

ZAD1
Mamy 10-elementowy ciąg zerojedynkowy. Ile jest możliwych ciągów, w których są 2 jedynki?

Zad 2
Mamy 3 kasy i 8 klientów. Na ile sposobów tych 8 klientów może się ustawić w 3 kasach?

Oba zadania mają takie samo rozwiązanie: \(\displaystyle{ {10\choose 2}}\)
Inaczej, wybieramy 2 przegrody pomiędzy 8 elementów, np: 0001000100.

Zadania są wzięte z wykładów i pierwsze to kombinacja, a drugie to tzw rozmieszczenie uporządkowane.
Pytanie zasadniczo mam takie, dlaczego to się liczy tak samo?

W rozmieszczeniu uporządkowanym kolejność ludzi do kas ma znaczenie, a w ciągu binarnym przecież nie ma znaczenia czy zamienimy ze sobą zera. Gdzie popełniam błąd logiczny?

Kartezjusz · Post autor: **Kartezjusz** » 21 lis 2013, o 09:55

Jak rozwiązałeś drugie? Mi to wygląda na wariancję z powtórzeniami...

Mad_Man · Post autor: **Mad_Man** » 21 lis 2013, o 10:08

Chyba zależy jak się zapisze.

\(\displaystyle{ {10\choose 2} = {3+8-1\choose 3-1}}\)

Kartezjusz · Post autor: **Kartezjusz** » 21 lis 2013, o 10:10

Ale dlaczego tak. Ja patrzę,że każdy człowiek wybiera swoją kasę ma do wyboru trzy. Jest ośmioro ludzi, czyli rozmieszczeń jest \(\displaystyle{ 3^{8}}\)

Mad_Man · Post autor: **Mad_Man** » 21 lis 2013, o 10:37

Czym w takim razie jest rozmieszczenie uporządkowane?

Mamy definicję, że ilość różnych możliwych rozmieszczeń uporządkowanych k-elementów w n-pudełkach liczy się:

\(\displaystyle{ n \cdot (n + 1) \cdot ... \cdot (n + k - 1)}\)

Rozwiązanie jest z wykładu i znalazłem w sieci podobny przykład i nie jest rozwiązywany wariacją z powtórzeniami. Nie mogę tego zrozumieć.

Kartezjusz · Post autor: **Kartezjusz** » 21 lis 2013, o 10:53

Już kapuję dlaczego nie jest to z powtórzeniami, w końcu ważna jest kolejność w obrębie tej samej kasy, tyle, że to w takim razie powinno być \(\displaystyle{ 3^{\overline{8}}=}\)

Mad_Man · Post autor: **Mad_Man** » 21 lis 2013, o 11:07

Mi niestety nadal bardziej wydaje się że to rozumiem, niż rozumiem..

Czy to oznacza, że takich wyników będzie więcej niż 'zwykłych' wariacji z powtórzeniami?
Czy można jakoś łatwo przejść z wariacji z powtórzeniami do rozmieszczenia uporządkowanego lub odwrotnie?

Możesz podać jakiś zrozumiały przykład czym się różnią?

Kartezjusz · Post autor: **Kartezjusz** » 21 lis 2013, o 11:23

Podam dwa podobne zadania
1. Masz płytę ulubionego artysty i słuchasz Na ile sposobów możesz wybrać cztery utwory
nie patrząc na kolejność
2. To co wyżej, jeśli patrzysz na kolejność.

Mad_Man · Post autor: **Mad_Man** » 21 lis 2013, o 12:54

Rozumiem, że te zadania mają sens tylko zakładając, że utwory mogą się powtarzać, bo w wariacjach bez powtórzeń kolejność ma znaczenie?

Kartezjusz · Post autor: **Kartezjusz** » 22 lis 2013, o 08:38

Dokładnie. Są to zadania w których losujemy coś bez zwracania wielokrotnie i na ilw sposobów można to zrobić. Jeśli losowań jest tyle ile elementów, które możemy wylosować mamy permutację.

Mad_Man · Post autor: **Mad_Man** » 22 lis 2013, o 15:30

Jeszcze odnośnie

Mad_Man pisze: Zad 2
Mamy 3 kasy i 8 klientów. Na ile sposobów tych 8 klientów może się ustawić w 3 kasach?

Czy w takim razie jeśli chcemy jeszcze sprawdzić, na ile sposobów te kolejki mogą się ustawić do kas, będziemy mieli:
\(\displaystyle{ {10\choose 2} \cdot 3^{\overline{8}}}\) ?

Kartezjusz · Post autor: **Kartezjusz** » 25 lis 2013, o 09:35

Wystarczy tylko drugi czynnik.