Zestaw pytań na egzaminie

Mad_Man · Post autor: **Mad_Man** » 20 lis 2013, o 16:25

Znalazłem takie zadanie z rozwiązaniem, ale nie jestem pewien czy jest dobre.

Zadanie jest takie:
Część A egzaminu zawiera 8 pytań, część B - 10 pytań. Student wybiera 6 pytań z części A i 9 z
części B. Na ile sposobów może wybrać pytania?

Rozwiązanie podobno jest takie:

\(\displaystyle{ {8\choose 6}*{10\choose 9}}\)

W ten sposób wybieramy 2 podzbiory. Podzbiór 6-elementowy ze zbioru 8-elementowego i podzbiór 9-elementowy z 10-elementowego.

Moje pytanie jest takie. Skoro mnożymy jedno razy drugie, to bierzemy pod uwagę wszystkie możliwości ułożenia tych dwóch podzbiorów pytań. Ale jakie ma znaczenie taka kolejność? Chyba żadnej.
Czy nie powinno się całego wyniku podzielić przez \(\displaystyle{ 2!}\), żeby unieważnić kolejność podzbiorów?

Z góry dziękuję za szybką odpowiedź.. nie daje mi to spokoju

mortan517 · Post autor: **mortan517** » 20 lis 2013, o 16:44

Kolejność tutaj nie jest uwzględniona, ponieważ są to kombinacje.

\(\displaystyle{ C ^{6} _{8} \cdot C ^{9} _{10} = {8\choose 6} \cdot {10\choose 9}}\)

Mad_Man · Post autor: **Mad_Man** » 20 lis 2013, o 16:49

Kolejność nie jest uwzględniona dla poszczególnych kombinacji, ale pomiędzy nimi jest mnożenie więc zwykła permutacja - liczenie wszystkich możliwych ustawień tych dwóch podzbiorów.

Czym to się różni od tego wyjaśnienia?
230511.htm

yorgin · Post autor: **yorgin** » 20 lis 2013, o 17:02

Mad_Man pisze: Moje pytanie jest takie. Skoro mnożymy jedno razy drugie, to bierzemy pod uwagę wszystkie możliwości ułożenia tych dwóch podzbiorów pytań. Ale jakie ma znaczenie taka kolejność? Chyba żadnej.
Czy nie powinno się całego wyniku podzielić przez \(\displaystyle{ 2!}\), żeby unieważnić kolejność podzbiorów?

Pytanie pomocnicze. Wybierasz jedno zadanie z \(\displaystyle{ A}\) liczącego \(\displaystyle{ 2}\) pytania i jedno z \(\displaystyle{ B}\) liczącego \(\displaystyle{ 3}\) pytania. Ile jest możliwych wyborów? \(\displaystyle{ 6}\) czy może według Twojej idei, \(\displaystyle{ 3}\)?

mortan517 · Post autor: **mortan517** » 20 lis 2013, o 17:05

Zadania z kombinatoryki mają to do siebie, że czasami możemy rozumieć je dwojako. W wyjaśnieniu podanym w tym linku uwzględniane są kolejności wyboru. W twoim zadaniu tego nie ma. Mnożymy bo najpierw wybieramy sobie 6 z 9, a później dla każdej z tych możliwości możemy jeszcze wybrać z drugiego zestawu 9 z 10.

yorgin · Post autor: **yorgin** » 20 lis 2013, o 17:08

I poza tym interesują nas tylko pytania, a nie ich ustawienie. W treści w zadaniu szukamy liczby wyboru tych pytań. Gdybyśmy zapytali, ile można z tych wybranych utworzyć zestawów (o takich samych zadaniach), to wtedy trzeba zacząć uwzględniać jakieś permutacje.

Mad_Man · Post autor: **Mad_Man** » 20 lis 2013, o 18:18

yorgin pisze: Wybierasz jedno zadanie z \(\displaystyle{ A}\) liczącego \(\displaystyle{ 2}\) pytania i jedno z \(\displaystyle{ B}\) liczącego \(\displaystyle{ 3}\) pytania. Ile jest możliwych wyborów? \(\displaystyle{ 6}\) czy może według Twojej idei, \(\displaystyle{ 3}\)?

Oczywiście 6 i to mnie przekonuje.

Może się zapętliłem ale, żeby ustawić wylosowane pary trzeba w takim razie pomnożyć \(\displaystyle{ 6 \cdot 6!}\) wszystkich ustawień, prawda?

W takim razie nie rozumiem zadania z 4 parami z podanego wcześniej linku. Tam też jest \(\displaystyle{ {8\choose 2} \cdot {6\choose 2} \cdot {4\choose 2}}\) i iloczyn tych kombinacji został podzielony na ilość ustawień.. Czym różni się tamten iloczyn od tego, skoro tamten od razu uwzględnia ułożenie par (jest ich więcej) i już nie trzeba mnożyć przez permutacje. Czy to nie to samo co tu?