Liczby pierwsze Fermata

[Samanta]

Jeśli\(\displaystyle{ 2^{n} +1}\) jest liczba pierwsza, to n jest potęgą 2. Jak można co takiego udowodnić? Wiem, że trzeba zacząć od tego, że sprawdzamy, że n musi być parzyste, ale co dalej?

[thom]

Przypuśćmy, że \(\displaystyle{ n}\) nie jest potęgą dwójki, a więc ma pewien dzielnik nieparzysty \(\displaystyle{ p>1}\). Spróbuj wykorzystać wzór na rozkład \(\displaystyle{ a^p+b^p}\), aby uzasadnić, że liczba \(\displaystyle{ 2^n+1}\) nie może być wtedy liczbą pierwszą.

[Samanta]

Czyli wystarczy udowodnić, że \(\displaystyle{ 2^{p} + 1}\) jest liczbą złożoną? Tzn no bo mnie to wychodzi z tego rozkładu.

[thom]

Tak, bo dowodzimy przez kontrapozycję. Zakładając, że \(\displaystyle{ n}\) nie jest potęgą dwójki, dostajemy, że liczba \(\displaystyle{ 2^n+1}\) jest złożona.