Równanie rekurencyjne niejednorodne

[marcin9408]

Mam problem z takim przykładem:

\(\displaystyle{ a_{n+2} = 2a_{n+1} - a_{n} + n}\)

Muszę wyznaczyć bezpośredni wzór na n-ty wyraz.

Najpierw rozwiązuję równanie jednorodne:
\(\displaystyle{ a_{n} = r^{n}}\)
\(\displaystyle{ r^{2} - 2r + 1 = 0}\)
\(\displaystyle{ r_{0} = 1}\)
więc \(\displaystyle{ a_{n} = \alpha \cdot 1^{n} + \beta \cdot n \cdot 1^{n}}\)

No i teraz mam problem bo gdy do równania niejednorodnego \(\displaystyle{ a_{n+2} - 2a_{n+1} + a_{n} = n}\)
podstawimy przewidywane rozwiązanie \(\displaystyle{ a_{n} = An + B}\), po podstawieniu wychodzi że \(\displaystyle{ A = 0}\), a wszystkie \(\displaystyle{ B}\) się skracają.

[Qń]

Część niejednorodna jest postaci \(\displaystyle{ 1^n\cdot n}\), a jedynka jest dwukrotnym pierwiastkiem równania charakterystycznego - tak więc rozwiązanie szczególne przewidujesz nie w postaci \(\displaystyle{ An+B}\), tylko \(\displaystyle{ n^2\cdot (An+B)}\).

Q.