Kombinatoryka - owoce

[Krex]

Witam,

Mam problem z pewnym zadaniem. Część mam rozwiązane, część nie, ale ogóle już się tak zakręciłem, że chciałbym, aby ktoś mi to jasno wytłumaczył. Treść zadania jest taka:
Przygotowano paczki z czterech rodzajów owoców: jabłek, gruszek, moreli i pomarańczy po pięć owoców w każdej. Okazało się, że paczki są różne.
a) Ile było wszystkich paczek?
Tutaj mam rozwiązanie, że to będzie 4*4*4*4*4 = 1024. Ale tak pomyślałem - dlaczego ma tak być? Przecież tutaj kolejność chyba nie ma znaczenia i czy mamy paczkę (gruszka, gruszka, gruszka, jabłko, jabłko) czy (jabłko, jabłko, gruszka, gruszka, gruszka) to jest jedno i to samo. Proszę o wytłumaczenie tego problemu.
b) Obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania paczki z co najmniej 1 jabłkiem.
Mam obliczone, że to jest 3*3*3*3*3 = 243, czyli paczki, w których nie ma jabłek. Dalej wiadomo jak postępować, ale znowu mam to samo pytanie co wyżej - czy aby w tym sposobie nie liczę podwójnie zdarzeń i jeśli nie to dlaczego?
c) Ile jest paczek z dokładnie trzema jabłkami?
d) Ile jest paczek z dokładnie jednym jabłkiem i jedną gruszką?

Tych dwóch ostatnich podpunktów nie wiem, bo tak jak pisałem - jestem już skołowany czy w tym zadaniu kolejność ma znaczenie, czy też nie. Będę wdzięczny za wyjaśnienie problemu. Nawet nie chodzi mi o obliczenia, a po prostu wytłumaczenie jak to zadanie należy rozumieć.

[mat_61]

Twoje wątpliwości są słuszne. Liczy się zawartość paczki a nie kolejność w jakiej np. wkładamy do niej poszczególne owoce.Są to więc dla wszystkich przykładów klasyczne kombinacje z powtórzeniami, np. dla a) tworzymy pięcioelementowe multizbiory ze zbioru czteroelementowego.

Wiesz jak będzie dla pozostałych punktów?

Tutaj mam rozwiązanie, że to będzie ...

Skąd jest to rozwiązanie? Łatwo sprawdzić, że jest to rozwiązanie niepoprawne wypisując np. możliwe zawartości paczek z trzema owocami utworzonymi z dwóch rodzajów owoców - jabłek i gruszek. Dla takiej paczki są tylko cztery możliwości: \(\displaystyle{ \left\{ J;J;J\right\} \ \ \left\{ J;J;G\right\} \ \ \left\{ J;G;G\right\} \ \ \left\{ G;G;G\right\}}\) a gdyby obliczyć tak jak napisałeś to takich możliwości byłoby \(\displaystyle{ 2 \cdot 2 \cdot 2=8}\)

[Krex]

Rozwiązania, które podałem są z ćwiczeń ze statystyki i rachunku prawdopodobieństwa, dlatego trudno było mi się przekonać do moich wątpliwości.
Jeśli chodzi o policzenie tego to uzyskałem takie wyniki:
a) 56
b) 0,625
c) 6
d) 4

Jeśli masz chwilę czasu to prosiłbym o sprawdzenie tych rezultatów. I jeżeli są dobrze to jeszcze ciekawi mnie czy w podpunkcie c oraz d da się to policzyć jakimś wzorem? Bo ja po prostu wypisałem możliwe zdarzenia, a wiadomo, że nie zawsze się w ten sposób da to zrobić.

[mat_61]

Wszystko jest OK.
Oczywiście punkty c) i d) także liczymy jako kombinacje z powtórzeniami.
Np. dla c) mamy już w paczce 3 jabłka i dodatkowo dokładamy/wybieramy 2 owoce spośród trzech rodzajów owoców (czyli tworzymy dwuelementowy multizbiór ze zbioru trzyelementowego).