Mam problem z takim zadaniem:
Masz n różnokorowych kulek. Wkładasz je do k różnych pudełek ( można rozróżnić kolejnosc wkładania!).
Na ile sposobów mogą zostać wypełnione pudełka? Ile jest sposobów, w których żadne pudełko nie jest puste?
Potrafie zrobić dla poszczególnych przypadków: np. 5 kulek, 3 pudełka lub 4 kulki i 2 pudełka. Ale nie potrafie uogólnić tego "wzoru".
n różnych kulek i k pudełek
-
Snayk
- Użytkownik
- Posty: 422
- Rejestracja: 13 cze 2012, o 21:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wroc
- Podziękował: 25 razy
- Pomógł: 64 razy
n różnych kulek i k pudełek
Przedstawię swoją propozycję, która nie wiem czy jest poprawna:
zakładam, że \(\displaystyle{ n \ge k}\)
po jednej kulce wkładam do każdego pojemnika na \(\displaystyle{ n(n-1)(n-2)...(n-k+1)= \frac{n!}{(n-k)!}}\) sposobów.
Każdą z pozostałych \(\displaystyle{ n-k}\) kulek mogę włożyć do któregokolwiek pojemnika, czyli mogę zrobić to na \(\displaystyle{ k \cdot k \cdot k..=k^{n-k}}\) sposobów.
Po wymnożeniu mamy \(\displaystyle{ \frac{n!}{(n-k)!} \cdot k^{n-k}}\) możliwości z rozróżnieniem kolejności wkładania. Bez rozróżnienia wynik dzielę przez \(\displaystyle{ n!}\).
Tym sposobem wszystkie pudełka są użyte.
Jeśli nie wszystkie pudełka muszą zostać użyte, to mamy poprostu \(\displaystyle{ k^{n}}\) możliwości.
W razie czego proszę o krytykę.
zakładam, że \(\displaystyle{ n \ge k}\)
po jednej kulce wkładam do każdego pojemnika na \(\displaystyle{ n(n-1)(n-2)...(n-k+1)= \frac{n!}{(n-k)!}}\) sposobów.
Każdą z pozostałych \(\displaystyle{ n-k}\) kulek mogę włożyć do któregokolwiek pojemnika, czyli mogę zrobić to na \(\displaystyle{ k \cdot k \cdot k..=k^{n-k}}\) sposobów.
Po wymnożeniu mamy \(\displaystyle{ \frac{n!}{(n-k)!} \cdot k^{n-k}}\) możliwości z rozróżnieniem kolejności wkładania. Bez rozróżnienia wynik dzielę przez \(\displaystyle{ n!}\).
Tym sposobem wszystkie pudełka są użyte.
Jeśli nie wszystkie pudełka muszą zostać użyte, to mamy poprostu \(\displaystyle{ k^{n}}\) możliwości.
W razie czego proszę o krytykę.
