Suma kwadratów liczb naturalnych.

[pawel5510616]

Chodzi mi o obliczenie działania \(\displaystyle{ 1^{2}+2^{2}+3^{2}+ \ldots + k^{2}}\). Wiadomo, że suma ta wynosi \(\displaystyle{ \frac{k^{3}}{3}+\frac{k^{2}}{2}+\frac{k}{6}}\). Jednak jak znaleźć ten wynik nie znając go w ogóle?

[Vardamir]

Zaczynamy obliczając sumę z potęgą o jeden wyżej.
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{k}k^3=1+\sum_{i=1}^{k}k^3=1+\sum_{i=0}^{k-1}(k+1)^3=\cdots}\)

Następnie należy rozpisać to co jest pod ostatnią sumą z dwumianu. Później coś się skróci i coś uprości.