Kilka zadań na poziomie podstawowym liceum

[ayoko]

Proszę o podpowiedzi i wskazanie ewentualnych błędów w rozwiązaniu tych zadań:

Zad. 1
W Anglii panuje zwyczaj nadawania dziecku kilku imion. Na ile sposobów można nadać imiona dziecku, jeśli ogólna liczba imion wynosi \(\displaystyle{ 300}\), a nadaje się nie więcej niż \(\displaystyle{ 3}\) imiona?

Wydaje mi się, że należy rozpatrzyć 3 warianty:
1) Gdy nadajemy dziecku jedno imię - czyli \(\displaystyle{ 300}\) sposobów;
2) Gdy nadajemy dwa imiona, a więc jest \(\displaystyle{ 300\cdot 299}\) sposobów;
3) Gdy nadajemy trzy imiona, a więc \(\displaystyle{ 300 \cdot 299 \cdot 298}\) sposobów;

sumuję sposoby, a więc wychodzi \(\displaystyle{ 26 820 600}\) sposobów

Zad. 2
Mając do dyspozycji farby w \(\displaystyle{ 5}\) kolorach, Malwinka ma za zadanie pomalować chorągiewkę składającą się z \(\displaystyle{ 3}\) pasów. Każdy pas po obu stronach ma być pomalowany tym samym kolorem farby. Oblicz, na ile sposobów Malwinka może pomalować chorągiewkę, jeśli:
a) każdy pas ma mieć inny kolor;
b) pierwszy i trzeci, licząc od góry, pas ma mieć ten sam kolor, a środkowy inny.

a) Wydaje mi się, że będzie to \(\displaystyle{ 5 \cdot 5 = 25}\) sposobów;
b) \(\displaystyle{ 5 \cdot 5 \cdot 4 = 100}\) sposobów

Zad. 3
Na loterii są \(\displaystyle{ 4}\) losy wygrywające i \(\displaystyle{ 36}\) przegrywających. Na ile sposobów możemy wylosować \(\displaystyle{ 2}\) losy tak, aby wśród nich był:
a) co najmniej jeden los wygrywający;
b) co najwyżej jeden los przegrywający?

a) Policzyłam to w ten sposób: \(\displaystyle{ 4\cdot 39 = 156}\);
b) Wydaje mi się, że trzeba to policzyć w ten sam sposobów, co w podpunkcie a, jednak nie jestem pewna...

Zad. 4
Ile jest \(\displaystyle{ 4}\)-cyfrowych kodów, w których dokładnie \(\displaystyle{ 2}\) razy występuje cyfra \(\displaystyle{ 5}\)?

Obliczyłam to w ten sposób: \(\displaystyle{ 9 \cdot 9 \cdot 5 = 405}\).

Zad. 5
Ile jest \(\displaystyle{ 4}\)-cyfrowych kodów, w których dokładnie \(\displaystyle{ 2}\) razy występuje cyfra \(\displaystyle{ 5}\) i dwa razy cyfra \(\displaystyle{ 2}\)?

Tu jest więcej możliwości; czy ma skorzystać z wariacji z powtórzeniami?

[vpprof]

Proszę o podpowiedzi i wskazanie ewentualnych błędów w rozwiązaniu tych zadań:

Zad. 1
W Anglii panuje zwyczaj nadawania dziecku kilku imion. Na ile sposobów można nadać imiona dziecku, jeśli ogólna liczba imion wynosi 300, a nadaje się nie więcej niż 3 imiona?

Wydaje mi się, że należy rozpatrzyć 3 warianty:
1) Gdy nadajemy dziecku jedno imię - czyli 300 sposobów;
2) Gdy nadajemy dwa imiona, a więc jest 300 x 299 sposobów;
3) Gdy nadajemy trzy imiona, a więc 300 x 299 x 298 sposobów;

sumuję sposoby, a więc wychodzi 26 820 600 sposobów

OK.

Zad. 2
Mając do dyspozycji farby w 5 kolorach, Malwinka ma za zadanie pomalować chorągiewkę składającą się z 3 pasów. Każdy pas po obu stronach ma być pomalowany tym samym kolorem farby. Oblicz, na ile sposobów Malwinka może pomalować chorągiewkę, jeśli:
a) każdy pas ma mieć inny kolor;
b) pierwszy i trzeci, licząc od góry, pas ma mieć ten sam kolor, a środkowy inny.

a) Wydaje mi się, że będzie to 5 x 5 = 25 sposobów;

To by było, gdyby były \(\displaystyle{ 2}\) pasy i kolory mogłyby się powtarzać. Poprawnie jest \(\displaystyle{ 5 \cdot 4 \cdot 3}\), bo kolejność kolorów we fladze się liczy.

b) 5 x 5 x 4 = 100 sposobów

To oznacza: wybieram spośród pięciu kolorów dla pasa pierwszego, wybieram spośród pięciu kolorów dla pasa (no właśnie którego?) i wybieram spośród czterech kolorów. Coś za dużo tych możliwości biorąc pod uwagę, że pierwszy i trzeci mają mieć TEN SAM kolor, czyli dokonujesz jego wyboru tylko raz dla obydwu pasów.

Zad. 3
Na loterii są 4 losy wygrywające i 36 przegrywających. Na ile sposobów możemy wylosować 2 losy tak, aby wśród nich był:
a) co najmniej jeden los wygrywający;
b) co najwyżej jeden los przegrywający?

a) Policzyłam to w ten sposób: 4 x 39 = 156;

Co najmniej jeden, czyli jeden albo dwa wygrywające. Czyli \(\displaystyle{ {4 \choose 1} {36 \choose 1} + {4 \choose 2}}\).

b) Wydaje mi się, że trzeba to policzyć w ten sam sposobów, co w podpunkcie a, jednak nie jestem pewna...

Tak, to jest to samo — może autorzy zadania się pomylili.

Zad. 4
Ile jest 4-cyfrowych kodów, w których dokładnie 2 razy występuje cyfra 5?

Obliczyłam to w ten sposób: 9 x 9 x 5 = 405

Trzeba wybrać dwa miejsca, na których jest cyfra „5” czyli \(\displaystyle{ {4 \choose 2}}\), a następnie pozostałe miejsca zapełnić dowolnymi cyframi oprócz „5”, czyli \(\displaystyle{ 9^2}\). Zauważ, że nie ma znaczenia czy to cyfra „5” czy jakakolwiek inna — wynik jest taki sam dla każdej innej cyfry, bo nigdzie tu nie ma mowy o wartości, sumie itp.

Zad. 5
Ile jest 4-cyfrowych kodów, w których dokładnie 2 razy występuje cyfra 5 i dwa razy cyfra 2?

Tu jest więcej możliwości; czy ma skorzystać z wariacji z powtórzeniami?

Tu jest ewidentnie mniej możliwości, bo tam po wyborze miejsc z piątką miałaś jeszcze dziewięć cyfr do wyboru, a tu nie masz już żadnego wyboru, czyli \(\displaystyle{ {4 \choose 2}}\) .

[ayoko]

Dziękuję.