Osoby o tych samych inicjałach

ayoko · Post autor: **ayoko** » 10 lis 2013, o 20:13

Proszę o podpowiedź: Osiedle zamieszkuje 2000 osób. Wykaż, że co najmniej 2 z nich mogą mieć te same inicjały. Zakładamy, że inicjały możemy budować spośród liter alfabetu łacińskiego, który wyróżnia 26 liter.

Nie mam pojęcia, od której strony to zadanie ugryźć, bardzo proszę o pomoc.

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 10 lis 2013, o 20:21

Jeśli inicjały zawierają dwa znaki, to \(\displaystyle{ 2000}\) to dużo za dużo na otrzymanie naszej tezy. Ile jest wszystkich możliwych inicjałów? I jaka jest minimalna liczba osób gwarantująca otrzymanie naszej tezy?

ayoko · Post autor: **ayoko** » 10 lis 2013, o 20:34

Ilość możliwych inicjałów to iloczyn 26 i 26? Co do dalszej części, nie do końca rozumiem.

huteusz · Post autor: **huteusz** » 10 lis 2013, o 20:36

Tak, \(\displaystyle{ 26 \cdot 26=676}\)
Wiesz co to zasada szufladkowa Dirichleta?

ayoko · Post autor: **ayoko** » 10 lis 2013, o 20:37

Niestety, pytam z poziomu podstawowego liceum.

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 10 lis 2013, o 20:45

Ale to można ogarnąć bez tej strasznej nazwy Zauważ, że jeśli masz \(\displaystyle{ 367}\) osób, przynajmniej dwie muszą urodzić się w tym samym dniu roku. Czyli ta sama data dzień/miesiąc.

vpprof · Post autor: **vpprof** » 11 lis 2013, o 05:20

ayoko pisze:Ilość możliwych inicjałów to iloczyn 26 i 26? Co do dalszej części, nie do końca rozumiem.

Tak, chodzi o to, że jeśli mamy choćby o jeden większą liczbę osób od tego \(\displaystyle{ 26^2=676}\) to przynajmniej dwie osoby muszą mieć te same inicjały, bo \(\displaystyle{ 676}\) osób wyczerpuje wszystkie możliwości, więc z konieczności nowe osoby muszą mieć inicjały, które już wystąpiły.

I w zadaniu nie powinno być „mogą mieć te same inicjały” tylko „mają te same inicjały”, bo to pewne jak dwa i dwa jest cztery. Choć podejrzewam, że za tym tajemniczym „mogą” kryje się jeszcze ten fakt, że może zaistnieć sytuacja, w której każda osoba ma przynajmniej jednego „imiennika” (no, „inicjałownika”), co w przypadku, gdyby populacja była mniejsza od \(\displaystyle{ 676 \cdot 2=1352}\), nie mogłoby mieć miejsca.

ayoko · Post autor: **ayoko** » 11 lis 2013, o 14:29

Aha, dziękuję.