Wyznacz jawny wzór na wyraz ciągu i zbadaj jego zbieżność

[jaranna]

Witam,

Próbowałam to równanie rekurencyjne rozwiązać przy użyciu równania charakterystycznego równania rekurencyjnego, ale nic nie wyszło...Bardzo proszę o pomoc:

Wyznacz jawny wzór na wyraz ciągu i zbadaj jego zbieżność:
\(\displaystyle{ a_{1} = 4, a_{n+1} = 4 \sqrt[3]{a _{n} }}\)


*(Przepraszam za wcześniejszą pomyłkę z umieszczeniem tego postu w niewłaściwym miejscu..)

[Naed Nitram]

Niech

\(\displaystyle{ b_n=\ln(a_n)}\).

Wówczas:

\(\displaystyle{ b_{n+1}=\ln(a_{n+1})=\ln(4\sqrt[3]{a_n})=\frac 13\ln(a_n)+\ln 4=\frac{b_n}3+\ln 4}\)

skąd

\(\displaystyle{ b_{n+1}=\frac{b_1}{3^n}+\ln 4\cdot\left(1+\frac 13+\frac 1{3^2}+\ldots+\frac 1{3^{n-1}}\right)}\).

[jaranna]

Ok, rozumiem podstawienie(chociaż nie wiem czemu podstawiamy akurat logarytm) i przekształcenie. Ale nie rozumiem co dzieje się w ostatniej linijce. Czy mógłbyś mi wytłumaczyć skąd ona się wzięła?

[Naed Nitram]

Jeśli

\(\displaystyle{ x_{n+1}=ax_n+b}\)

to:

\(\displaystyle{ x_{n+1}=a^nx_1+b\cdot(1+a+a^2+\ldots+a^n)}\)

Co można zobaczyć np. tak:

\(\displaystyle{ x_{n+1}=ax_n+b=a(ax_{n-1}+b)+b=a(a(ax_{n-2}+b)+b)+b=\ldots}\)

\(\displaystyle{ \ldots=a(\ldots (a(ax_1+b)+b)\ldots)+b}\)

i wystarczy otworzyć nawiasy. Można też użyć równania charakterystycznego, funkcji tworzących, czy macierzy, ale najprościej przez indukcję udowodnić.