Witam,
Próbowałam to równanie rekurencyjne rozwiązać przy użyciu równania charakterystycznego równania rekurencyjnego, ale nic nie wyszło...Bardzo proszę o pomoc:
Wyznacz jawny wzór na wyraz ciągu i zbadaj jego zbieżność:
\(\displaystyle{ a_{1} = 4, a_{n+1} = 4 \sqrt[3]{a _{n} }}\)
*(Przepraszam za wcześniejszą pomyłkę z umieszczeniem tego postu w niewłaściwym miejscu..)
Wyznacz jawny wzór na wyraz ciągu i zbadaj jego zbieżność
-
- Użytkownik
- Posty: 148
- Rejestracja: 28 lis 2011, o 20:57
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Nowy Sącz
- Podziękował: 65 razy
Wyznacz jawny wzór na wyraz ciągu i zbadaj jego zbieżność
Ostatnio zmieniony 10 lis 2013, o 15:36 przez Vardamir, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale.
-
- Użytkownik
- Posty: 121
- Rejestracja: 8 paź 2013, o 17:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hd
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 44 razy
Wyznacz jawny wzór na wyraz ciągu i zbadaj jego zbieżność
Niech
\(\displaystyle{ b_n=\ln(a_n)}\).
Wówczas:
\(\displaystyle{ b_{n+1}=\ln(a_{n+1})=\ln(4\sqrt[3]{a_n})=\frac 13\ln(a_n)+\ln 4=\frac{b_n}3+\ln 4}\)
skąd
\(\displaystyle{ b_{n+1}=\frac{b_1}{3^n}+\ln 4\cdot\left(1+\frac 13+\frac 1{3^2}+\ldots+\frac 1{3^{n-1}}\right)}\).
\(\displaystyle{ b_n=\ln(a_n)}\).
Wówczas:
\(\displaystyle{ b_{n+1}=\ln(a_{n+1})=\ln(4\sqrt[3]{a_n})=\frac 13\ln(a_n)+\ln 4=\frac{b_n}3+\ln 4}\)
skąd
\(\displaystyle{ b_{n+1}=\frac{b_1}{3^n}+\ln 4\cdot\left(1+\frac 13+\frac 1{3^2}+\ldots+\frac 1{3^{n-1}}\right)}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 148
- Rejestracja: 28 lis 2011, o 20:57
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Nowy Sącz
- Podziękował: 65 razy
Wyznacz jawny wzór na wyraz ciągu i zbadaj jego zbieżność
Ok, rozumiem podstawienie(chociaż nie wiem czemu podstawiamy akurat logarytm) i przekształcenie. Ale nie rozumiem co dzieje się w ostatniej linijce. Czy mógłbyś mi wytłumaczyć skąd ona się wzięła?
-
- Użytkownik
- Posty: 121
- Rejestracja: 8 paź 2013, o 17:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hd
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 44 razy
Wyznacz jawny wzór na wyraz ciągu i zbadaj jego zbieżność
Jeśli
\(\displaystyle{ x_{n+1}=ax_n+b}\)
to:
\(\displaystyle{ x_{n+1}=a^nx_1+b\cdot(1+a+a^2+\ldots+a^n)}\)
Co można zobaczyć np. tak:
\(\displaystyle{ x_{n+1}=ax_n+b=a(ax_{n-1}+b)+b=a(a(ax_{n-2}+b)+b)+b=\ldots}\)
\(\displaystyle{ \ldots=a(\ldots (a(ax_1+b)+b)\ldots)+b}\)
i wystarczy otworzyć nawiasy. Można też użyć równania charakterystycznego, funkcji tworzących, czy macierzy, ale najprościej przez indukcję udowodnić.
\(\displaystyle{ x_{n+1}=ax_n+b}\)
to:
\(\displaystyle{ x_{n+1}=a^nx_1+b\cdot(1+a+a^2+\ldots+a^n)}\)
Co można zobaczyć np. tak:
\(\displaystyle{ x_{n+1}=ax_n+b=a(ax_{n-1}+b)+b=a(a(ax_{n-2}+b)+b)+b=\ldots}\)
\(\displaystyle{ \ldots=a(\ldots (a(ax_1+b)+b)\ldots)+b}\)
i wystarczy otworzyć nawiasy. Można też użyć równania charakterystycznego, funkcji tworzących, czy macierzy, ale najprościej przez indukcję udowodnić.