równanie różnicowe 2

[Cosinusoida89sonia]

mam rozwiązać równanie różnicowe i nie wiem do końca czy dobrze to robię:

1)
\(\displaystyle{ a _{k+1}-2a _{k}=k ^{2}2 ^{k}}\)
\(\displaystyle{ a _{1}=0}\)

najpierw rozwiązujemy przypadek
\(\displaystyle{ a _{k+1}-2a _{k}=0}\)

równanie charakterystyczne

\(\displaystyle{ \lambda-2=0}\)
\(\displaystyle{ \lambda=2}\)
\(\displaystyle{ a _{k}=(A+Bk)2 ^{k}}\) to jest rozwiązanie ogólne przypadku równania jednorodnego

teraz tak wyliczone \(\displaystyle{ a _{k}}\) podstawiamy do \(\displaystyle{ a _{k+1}-2a _{k}=k ^{2}2 ^{k}}\)

czyli

\(\displaystyle{ (A+B(k+1))2 ^{k+1}-2(A+Bk)2 ^{k}=k ^{2}2 ^{k}}\)

po redukcji mamy:

\(\displaystyle{ B2 ^{k+1}=k ^{2}2 ^{k}}\)

czyli

\(\displaystyle{ 2B2 ^{k}=k ^{2}2 ^{k}}\)
\(\displaystyle{ 2B=k ^{2}}\)
\(\displaystyle{ B= \frac{k ^{2}}{2}}\)

i teraz nie wiem, czy tak wyliczone \(\displaystyle{ B}\) wstawiamy do \(\displaystyle{ a _{k}=(A+Bk)2 ^{k}}\)?