mam rozwiązać równanie różnicowe i nie wiem do końca czy dobrze to robię:
1)
\(\displaystyle{ a _{k+1}-2a _{k}=k ^{2}2 ^{k}}\)
\(\displaystyle{ a _{1}=0}\)
najpierw rozwiązujemy przypadek
\(\displaystyle{ a _{k+1}-2a _{k}=0}\)
równanie charakterystyczne
\(\displaystyle{ \lambda-2=0}\)
\(\displaystyle{ \lambda=2}\)
\(\displaystyle{ a _{k}=(A+Bk)2 ^{k}}\) to jest rozwiązanie ogólne przypadku równania jednorodnego
teraz tak wyliczone \(\displaystyle{ a _{k}}\) podstawiamy do \(\displaystyle{ a _{k+1}-2a _{k}=k ^{2}2 ^{k}}\)
czyli
\(\displaystyle{ (A+B(k+1))2 ^{k+1}-2(A+Bk)2 ^{k}=k ^{2}2 ^{k}}\)
po redukcji mamy:
\(\displaystyle{ B2 ^{k+1}=k ^{2}2 ^{k}}\)
czyli
\(\displaystyle{ 2B2 ^{k}=k ^{2}2 ^{k}}\)
\(\displaystyle{ 2B=k ^{2}}\)
\(\displaystyle{ B= \frac{k ^{2}}{2}}\)
i teraz nie wiem, czy tak wyliczone \(\displaystyle{ B}\) wstawiamy do \(\displaystyle{ a _{k}=(A+Bk)2 ^{k}}\)?
równanie różnicowe 2
-
- Użytkownik
- Posty: 37
- Rejestracja: 24 mar 2013, o 22:58
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska