równania różnicowe

[Cosinusoida89sonia]

1)Rozwiąż równianie różnicowe

\(\displaystyle{ a _{k+2}-6a _{k+1}+9a _{k}=0}\)
\(\displaystyle{ a _{0}=1}\)
\(\displaystyle{ a _{1}=0}\)

równanie charak:
\(\displaystyle{ \lambda ^{2}-6\lambda+9=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=36-36=0}\)
\(\displaystyle{ \lambda _{1,2}=3}\)

\(\displaystyle{ a _{k}=(A+Bk)3 ^{k}}\) rozwiązanie ogólne

uwzględniając:
\(\displaystyle{ a _{0}=1}\)
\(\displaystyle{ a _{1}=0}\)

\(\displaystyle{ (A+B0)3 ^{0}=1}\)
\(\displaystyle{ (A+B)3=0}\)

\(\displaystyle{ A=1}\)
\(\displaystyle{ B=- \frac{1}{3}}\)

czyli
\(\displaystyle{ a _{k}=(1- \frac{1}{3}k)3 ^{k}}\) rozwiązanie szczególne

?czy to jest poprawnie?

2)Rozwiąż równianie różnicowe

\(\displaystyle{ a _{k+2}-4a _{k+1}+4a _{k}=2 ^{k}}\)

najpierw rozwiązujemy:
\(\displaystyle{ a _{k+2}-4a _{k+1}+4a _{k}=0}\)

\(\displaystyle{ \lambda ^{2}-4\lambda+4=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=16-16=0}\)
\(\displaystyle{ \lambda _{1,2}=2}\)

\(\displaystyle{ a_{k}=(A+Bk)2 ^{k}}\)

i teraz nie wiem czy dobrze robię:

podstawiam wyliczone \(\displaystyle{ a _{k}}\) do \(\displaystyle{ a _{k+2}-4a _{k+1}+4a _{k}=2 ^{k}}\)
czyli:

\(\displaystyle{ (A+B(k+2))2 ^{k+2}-4(A+B(k+1))2 ^{k+1}+4(A+Bk)2 ^{k}=2 ^{k}}\)
??

[Kartezjusz]

Zauważ ,że wyrazy wolne (bez \(\displaystyle{ k}\) ) się wyzerują.

[Cosinusoida89sonia]

hm nie wiem czy coś źle podstawiłam ale wszystko mi się zeruje.. : /

[vpprof]

1)Rozwiąż równianie różnicowe

\(\displaystyle{ (A+B0)3 ^{0}=1}\)
\(\displaystyle{ (A+B)3=0}\)

\(\displaystyle{ A=1}\)
\(\displaystyle{ B=- \frac{1}{3}}\)

\(\displaystyle{ A}\) jest OK, ale teraz podstawiając do drugiego mamy \(\displaystyle{ \left( 1+B\right) \cdot 3=0 \Longrightarrow B+1=0 \Longrightarrow B=-1}\) nieprawdaż?

[Cosinusoida89sonia]

faktycznie dzięki

ale bardziej chodzi mi czy metodyka jest ok. czy oprócz tego małego błędu wszytsko jest ok

[vpprof]

Nie znam się na tych metodach niestety, mogę ci tylko zaproponować rozwiązanie przy użyciu funkcji tworzących, jakieś tam pewnie analogie między tymi dwoma podejściami muszą być. A jak nie, to chociaż będziesz miała poprawne rozwiązanie.

Będzie łatwiej, jeśli przepiszemy twoją rekurencję tak: \(\displaystyle{ a_k=4a_{k-1}-4a_{k-2}+2^{k-2}}\). Wtedy funkcją tworzącą definiowanego przez nią ciągu będzie:

\(\displaystyle{ A(x)=a_0+a_1x+ \sum_{k \ge 2}\left( 4a_{k-1}-4a_{k-2}+2^{k-2}\right) x^k
= a_0+a_1x+ 4x\left( \sum_{k \ge 0} a_kx^k-a_0\right) -4x^2\left( \sum_{k \ge 0} a_kx^k\right) +x^2 \sum_{k \ge 0} 2^kx^k
=a_0+a_1x+4xA(x)-4xa_0-4x^2A(x)+\frac{x^2}{1-2x}}\)

\(\displaystyle{ A(x)\left( 1-4x+4x^2\right) = a_0+\left( a_1-4a_0\right) x +\frac{x^2}{1-2x}}\)

Po rozkładzie na ułamki proste mamy:
\(\displaystyle{ A(x)= \sum_{k \ge 0} \left( \frac{ \frac{1}{4} }{\left( 1-2x\right)^3 } + \frac{- \frac{1}{2}-a_0+ \frac{a_1}{2} }{\left( 1-2x\right)^2 } + \frac{ \frac{1}{4}+2a_0- \frac{a_1}{2} }{1-2x} \right) x^k}\)

Stąd postać jawna to:
\(\displaystyle{ a_k = \frac{1}{4} \cdot 2^k \cdot \frac{\left( k+1\right) \left( k+2\right) }{2} +
\left( - \frac{1}{2}-a_0+ \frac{a_1}{2} \right) 2^k \left( k+1\right) +
\left( \frac{1}{4}+2a_0- \frac{a_1}{2} \right) 2^k = \\
= \text{tu nie chce mi się przepisywać kilku linijek bazgrołów} = \\
= 2^{k-3}\left( 8a_0\left( 1-k\right) +4a_1k+k^2-k\right)}\)