Podział książek
Podział książek
Ile jest sposobów takiego podziału 27 książek między osoby A, B i C, aby A i B otrzymały razem więcej książek niż C?
-
vpprof
- Użytkownik
- Posty: 492
- Rejestracja: 11 paź 2012, o 11:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 26 razy
- Pomógł: 64 razy
Podział książek
Zakładam, że każda z osób musi otrzymać przynajmniej jedną książkę — nie napisałaś ile minimum każda musi otrzymać.
Proponuję zliczyć podziały \(\displaystyle{ 27}\) na \(\displaystyle{ 2}\) składniki \(\displaystyle{ z_{AB},\ z_C,\ z_{AB}>z_C}\), z których pierwszy reprezentuje to, co dostaną łącznie \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\), drugi to, co \(\displaystyle{ C}\). Liczba podziałów \(\displaystyle{ n}\) na \(\displaystyle{ 2}\) składniki wynosi \(\displaystyle{ P(n,2)=\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}\), czyli w naszym przypadku \(\displaystyle{ 13}\). Większy składnik będzie przypisany \(\displaystyle{ z_{AB}}\), mniejszy \(\displaystyle{ z_C}\).
Następnie dla każdego takiego podziału pozostaje kwestia ustalenia, ile dostanie \(\displaystyle{ A}\) a ile \(\displaystyle{ B}\), czyli obliczenie wszystkich rozwiązań równania diofantycznego \(\displaystyle{ z_{AB}=z_A+z_B}\). Ponieważ wartość jednej zmiennej jednoznacznie determinuje wartość drugiej zmiennej, a najmniejszą wartością jest \(\displaystyle{ 1}\), tych rozwiązań będzie \(\displaystyle{ z_{AB}-1}\).
Ostatecznie mamy: \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{13} 27-i-1 = 13 \cdot 26 - \frac{13^2+13}{2} = 247}\)
Proponuję zliczyć podziały \(\displaystyle{ 27}\) na \(\displaystyle{ 2}\) składniki \(\displaystyle{ z_{AB},\ z_C,\ z_{AB}>z_C}\), z których pierwszy reprezentuje to, co dostaną łącznie \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\), drugi to, co \(\displaystyle{ C}\). Liczba podziałów \(\displaystyle{ n}\) na \(\displaystyle{ 2}\) składniki wynosi \(\displaystyle{ P(n,2)=\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}\), czyli w naszym przypadku \(\displaystyle{ 13}\). Większy składnik będzie przypisany \(\displaystyle{ z_{AB}}\), mniejszy \(\displaystyle{ z_C}\).
Następnie dla każdego takiego podziału pozostaje kwestia ustalenia, ile dostanie \(\displaystyle{ A}\) a ile \(\displaystyle{ B}\), czyli obliczenie wszystkich rozwiązań równania diofantycznego \(\displaystyle{ z_{AB}=z_A+z_B}\). Ponieważ wartość jednej zmiennej jednoznacznie determinuje wartość drugiej zmiennej, a najmniejszą wartością jest \(\displaystyle{ 1}\), tych rozwiązań będzie \(\displaystyle{ z_{AB}-1}\).
Ostatecznie mamy: \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{13} 27-i-1 = 13 \cdot 26 - \frac{13^2+13}{2} = 247}\)
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Podział książek
Moim zdaniem to nieuprawnione założenie - skoro nie ma o tym mowy, to nie ma powodu by ktoś nie mógł otrzymać zero książek.vpprof pisze:Zakładam, że każda z osób musi otrzymać przynajmniej jedną książkę
Ale jeszcze bardziej nieuprawnione założenie jest takie, że książki są nierozróżnialne. Rozumiem, że czytelnictwo w narodzie spada i jak ktoś nic nie czyta, to mu wszystko jedno czego nie czyta - ale ja na przykład czytam i naprawdę widzę różnicę między przeczytanymi książkami.
Według mnie to poprawna odpowiedź to:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{13}\binom{27}{k} \cdot 2^{27-k}}\)
(najpierw wybieramy \(\displaystyle{ k}\) książek dla \(\displaystyle{ C}\), a następnie w dowolny sposób dajemy pozostałe książki osobom \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\); \(\displaystyle{ k}\) zmienia się od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ 13}\), ponieważ \(\displaystyle{ C}\) może dostać maksymalnie \(\displaystyle{ 13}\) książek)
Q.