Błagam wręcz o pomoc w poniższym zadaniu:
Iloma sposobami z talii zawierającej 52 karty można wyjąc 6 kart tak, aby wśród nich były karty wszystkich czterech kolorów?
Talia kart
Talia kart
\(\displaystyle{ {52 \choose 6}}\) . Znalazłam rozwiązanie w książce, ale nie bardzo rozumiem skąd się tam po szczególne fragmenty biorą...
Ostatnio zmieniony 4 lis 2013, o 20:39 przez kalafior7, łącznie zmieniany 2 razy.
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Talia kart
Wskazówka - reguła włączeń i wyłączeń.
Jeśli oznaczymy:
\(\displaystyle{ A_1}\) - wśród wybranych kart nie ma pika
\(\displaystyle{ A_2}\) - wśród wybranych kart nie ma kiera
\(\displaystyle{ A_3}\) - wśród wybranych kart nie ma kara
\(\displaystyle{ A_4}\) - wśród wybranych kart nie ma trefla
to szukamy:
\(\displaystyle{ |A_1' \cap A_2' \cap A_3' \cap A_4'|}\)
a na to właśnie jest wzór znany jako reguła włączeń i wyłączeń.
Q.
Jeśli oznaczymy:
\(\displaystyle{ A_1}\) - wśród wybranych kart nie ma pika
\(\displaystyle{ A_2}\) - wśród wybranych kart nie ma kiera
\(\displaystyle{ A_3}\) - wśród wybranych kart nie ma kara
\(\displaystyle{ A_4}\) - wśród wybranych kart nie ma trefla
to szukamy:
\(\displaystyle{ |A_1' \cap A_2' \cap A_3' \cap A_4'|}\)
a na to właśnie jest wzór znany jako reguła włączeń i wyłączeń.
Q.
Talia kart
\(\displaystyle{ {52 \choose 6} -4 {39 \choose 6} + 6 {26 \choose 6} -4 {13 \choose 6}}\) ?
Talia kart
Jesteś pewny, że to rozwiązanie jest poprawne ? Jak pisałam wyżej, w książce, z której to zadanie pochodzi jest nieco inne rozumowanie..-- 4 lis 2013, o 21:49 --Ok już wszystko jasne, dziękuję !
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Talia kart
Tak, powyższe rozumowanie jest poprawne.
Alternatywne jest takie, że można zauważyć, że wśród tych sześciu kart możliwe są tylko układy \(\displaystyle{ 3-1-1-1}\) oraz \(\displaystyle{ 2-2-1-1}\) (chodzi o ilości poszczególnych kolorów). W pierwszym wypadku daje to:
\(\displaystyle{ \binom 41 \binom{13}{3} \binom{13}{1}^3}\)
(wybieramy kolor, z którego są trzy karty, potem wybieramy te trzy karty i dobieramy po jednej karcie z pozostałych kolorów)
a w drugim wypadku:
\(\displaystyle{ \binom 42 \binom{13}{2}^2\binom{13}{1}^2}\)
(wybieramy dwa kolory, z których będą po dwie karty, wybieramy po dwie karty w tych kolorach i dobieramy po jednej z dwóch pozostałych kolorów)
Odpowiedź to zatem:
\(\displaystyle{ \binom 41 \binom{13}{3} \binom{13}{1}^3+\binom 42 \binom{13}{2}^2\binom{13}{1}^2}\)
Oczywiście to tyle samo co w poprzednim rozumowaniu (konkretnie \(\displaystyle{ 8682544}\)).
Q.
Alternatywne jest takie, że można zauważyć, że wśród tych sześciu kart możliwe są tylko układy \(\displaystyle{ 3-1-1-1}\) oraz \(\displaystyle{ 2-2-1-1}\) (chodzi o ilości poszczególnych kolorów). W pierwszym wypadku daje to:
\(\displaystyle{ \binom 41 \binom{13}{3} \binom{13}{1}^3}\)
(wybieramy kolor, z którego są trzy karty, potem wybieramy te trzy karty i dobieramy po jednej karcie z pozostałych kolorów)
a w drugim wypadku:
\(\displaystyle{ \binom 42 \binom{13}{2}^2\binom{13}{1}^2}\)
(wybieramy dwa kolory, z których będą po dwie karty, wybieramy po dwie karty w tych kolorach i dobieramy po jednej z dwóch pozostałych kolorów)
Odpowiedź to zatem:
\(\displaystyle{ \binom 41 \binom{13}{3} \binom{13}{1}^3+\binom 42 \binom{13}{2}^2\binom{13}{1}^2}\)
Oczywiście to tyle samo co w poprzednim rozumowaniu (konkretnie \(\displaystyle{ 8682544}\)).
Q.