liczba ciągów

[MikolajB]

Znajdź liczbę takich n wyrazowych ciągów złożonych z cyfr 0, 1, że liczba 1 występuje parzystą liczbę razy.

[Chromosom]

Liczba ciągów binarnych o \(\displaystyle{ n}\) wyrazach, zawierających \(\displaystyle{ 2k}\) jedynek, wynosi \(\displaystyle{ {n\choose2k}}\) - należy przeprowadzić sumowanie dla wszystkich \(\displaystyle{ 2\le2k\le n}\).

[MikolajB]

czyli odpowiedź to:

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{ \left[ \frac{n}{2} \right] } {n \choose 2k}}\) ?

teraz dobrze?

[Kartezjusz]

Dokładnie. Aby to wyliczyć wykorzystaj wyrażenia \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n \choose k}}\) oraz \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} (-1)^{k} {n \choose k}}\). Ile one wynoszą.

[MikolajB]

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} = 2 ^{n}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} (-1) ^{k} {n \choose k} = 0}\)

[Kartezjusz]

Tak jest. Teraz wykorzystaj to w sprytny sposób, aby dostać to czego potrzebujesz:)

[MikolajB]

Chyba właśnie brakuje mi sprytu

[Kartezjusz]

Jak masz dwie równości , co najczęściej z nimi robisz?:)

[MikolajB]

Nie widzę tego dalej:)

[Kartezjusz]

Przypomnij sobie układy równań na przykład... Jak rozwiązywałeś je w gimnazjum?

[MikolajB]

\(\displaystyle{ {n \choose 1}+ {n \choose 2} + {n \choose 3} +...+ {n \choose(n-1)} + {n \choose n}=2 ^{n}}\)
\(\displaystyle{ -{n \choose 1}+ {n \choose 2} - {n \choose 3} + ... \pm {n \choose n}= 0}\) właśnie nie wiem jak z znakiem dla ostatnich wyrazów, bo nie wiem czy n jest parzyste czy nie.
stronami to dodać myślałem, ale po pierwsze nie wiem co z tymi znakami, ale dostałbym wtedy coś co zaczyna się \(\displaystyle{ 2{n \choose 2}+ 2{n \choose 4} + 2{n \choose 6} + ...}\) tu wiem że się kończy ale jeszcze nie wiem na czym i lewa strona \(\displaystyle{ = 2 ^{n}}\)

[Kartezjusz]

Pokaż, że nie ma to znaczenia, Zostaną tylko z plusami wyrazy o parzystych \(\displaystyle{ k}\)

[yorgin]

czyli odpowiedź to:

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{ \frac{n}{2} } {n \choose 2k}}\) ?

Jeżeli \(\displaystyle{ n=17}\) to co to znaczy sumować do \(\displaystyle{ \frac{17}{2}}\)?

[MikolajB]

domyślam się że jak po podzieleniu przez 2 dostajemy \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n \choose 2k} = 2 ^{n-1}}\)
ale nie wiem jak pokazać że nie ma znaczenia czy n jest parzyste czy też nieparzyste:)

[Kartezjusz]

Rozważ dwa przypadki. Spójrz na uwagę \(\displaystyle{ Yorgina}\)