Rozdawanie jabłek.

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
1608
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 245
Rejestracja: 9 wrz 2010, o 21:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krakow
Podziękował: 133 razy
Pomógł: 1 raz

Rozdawanie jabłek.

Post autor: 1608 »

Mam problem z zadaniem:
Na ile sposobów można rozdać 12 nierozróżnialnych jabłek, 1 śliwkę, 1 gruszkę trójce dzieci,tak by przynajmniej jedno z nich dostało po przynajmniej jednym owocu?

Chciałem się za to zabrać coś kombinując z kombinacją z powtórzeniami ale jakoś nie bardzo mi wychodzi.
\(\displaystyle{ x_{1} +x_{2} +x_{3} =12}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ x_{1} >0, x_{2} >0, x_{3} >0}\)
x to są dzieci, ale nie wiem co dalej.
mat_61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4618
Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Pomógł: 866 razy

Rozdawanie jabłek.

Post autor: mat_61 »

Dlaczego coś Ci nie wychodzi?
Dla podzielenia jabłek tworzymy 12-elementowy multizbiór ze zbioru 3 elementowego, co możemy zrobić na \(\displaystyle{ {14 \choose 12}}\) sposobów.
Snayk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 422
Rejestracja: 13 cze 2012, o 21:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wroc
Podziękował: 25 razy
Pomógł: 64 razy

Rozdawanie jabłek.

Post autor: Snayk »

Można to zadanie zrobić tak, że uznaję, że jedna osobą ma jedno jabłko, jedną śliwkę i jedną gruszkę, i następnie losuje tylko 11 jabłek między 3 osoby ?
mat_61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4618
Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Pomógł: 866 razy

Rozdawanie jabłek.

Post autor: mat_61 »

A dlaczego któreś z dzieci ma mieć po jednym z każdego rodzaju owoców?
Warunkiem podanym w zadaniu jest tylko to aby co najmniej jedna osoba dostała co najmniej jeden owoc. Zestaw śliwka + gruszka możemy rozdzielić na \(\displaystyle{ 9}\) różnych sposobów, a jabłka wg sposobu podanego wyżej.
Snayk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 422
Rejestracja: 13 cze 2012, o 21:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wroc
Podziękował: 25 razy
Pomógł: 64 razy

Rozdawanie jabłek.

Post autor: Snayk »

Mylącej jest to: "by przynajmniej jedno z nich dostało PO przynajmniej jednym owocu?"
madziszyn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 3 lis 2013, o 22:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Rozdawanie jabłek.

Post autor: madziszyn »

Ja robiłem to zadanie podobnie jak Snayk. Wydaje mi się, że trzeba rozpatrywać te przypadki z różnymi owocami, bo każde ma otrzymać po jednym owocu, ale kiedy dziecko A ma gruszkę i 5 jabłek, to jest to inny przypadek od tego kiedy dziecko A ma 6 jabłek (także 6 owoców).
Ostatecznie tych przypadków 'z różnymi owocami' jest 6, a zostaje do rozdysponowania 11 jabłek trójce dzieci, gdzie co najmniej 1 z nich otrzyma jabłka. Ze wzoru na kombinacje z powtórzeniami i uwzględniając poprzednie spostrzeżenie wychodzi: \(\displaystyle{ 6 \cdot {3 + 11 -1 \choose 11} = 468}\) sposobów.
Jeśli się mylę, to proszę o wytłumaczenie błędu :D


edit. łoooo to jest źle :D Sam sobie to uświadomiłem. Są przecież przypadki, kiedy któreś z dzieci ma dokładnie 2 typy owoców... dejm już się cieszyłem, że zrobiłem zadanie.
Ostatnio zmieniony 3 lis 2013, o 22:34 przez madziszyn, łącznie zmieniany 1 raz.
mat_61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4618
Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Pomógł: 866 razy

Rozdawanie jabłek.

Post autor: mat_61 »

Ostatecznie tych przypadków 'z różnymi owocami' jest 6
Skąd taki wniosek?

Snayk zinterpretował teść zadania:

by przynajmniej jedno z nich dostało po przynajmniej jednym owocu?

w ten sposób, że co najmniej jedno dziecko ma dostać co najmniej po jednym z każdego gatunku owoców. Ponieważ śliwka i gruszka są tylko "w jednym egzemplarzu", to zestaw śliwka + gruszka + jabłko ma trafić do jednego z dzieci a pozostałe jabłka możemy rozdysponować dowolnie pomiędzy wszystkich.
madziszyn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 3 lis 2013, o 22:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Rozdawanie jabłek.

Post autor: madziszyn »

Już sam nie wiem... pogubiłem się trochę.

edit. Do tego, co powyżej wystarczy chyba dodać przypadki, kiedy jedno z dzieci ma zarówno gruszkę, jak i śliwkę. Czyli Dokładnie 3 przypadki. Ale wtedy zostanie do rozdysponowania 10 jabłek.

Czyli te \(\displaystyle{ 468}\) sposobów \(\displaystyle{ + 3 \cdot {3 + 10 -1 \choose 10} = 666}\) <- złoooo
Ostatnio zmieniony 3 lis 2013, o 22:50 przez madziszyn, łącznie zmieniany 1 raz.
mat_61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4618
Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Pomógł: 866 razy

Rozdawanie jabłek.

Post autor: mat_61 »

Zobacz uważnie jak jest sformułowana treść zadania:

by przynajmniej jedno z nich dostało po przynajmniej jednym owocu?

Snayk zinterpretował to zdanie w taki sposób:
Snayk pisze:że jedna osobą ma jedno jabłko, jedną śliwkę i jedną gruszkę, i następnie losuję tylko 11 jabłek między 3 osoby
Ty natomiast napisałeś:

...bo każde ma otrzymać po jednym owocu

i jednocześnie:

Ja robiłem to zadanie podobnie jak Snayk

Zaważ, że Twoja interpretacja jest całkowicie inna niż Snayka.
madziszyn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 3 lis 2013, o 22:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Rozdawanie jabłek.

Post autor: madziszyn »

Ja interpretuje to zadanie tak jak jest napisane w treści, czyli każde dziecko ma dostać po jednym owocu. To są zadania z AGH i miałem akurat to zadanie na ćwiczeniach, tylko nie pamiętam właśnie odpowiedzi. to 666 mi sie kojarzy coś, ale ręki nie dam urwać


edit. A przepraszam. Wiem o co Ci chodzi ja napisałem, że myślę podobnie jak Snayk w tym sensie, że tutaj coś z tymi kombinacjami z powtórzeniami trzeba robić
mat_61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4618
Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Pomógł: 866 razy

Rozdawanie jabłek.

Post autor: mat_61 »

madziszyn pisze:Ja interpretuje to zadanie tak jak jest napisane w treści, czyli każde dziecko ma dostać po jednym owocu.
W tym problem, że tego co napisałeś nie ma w podanej treści zadania.

Nie widzisz różnicy pomiędzy tym co napisałeś a tym zdaniem:

"...by przynajmniej jedno z nich dostało po przynajmniej jednym owocu?"

Ty piszesz, że:

każde dziecko ma dostać po jednym owocu

a w zadaniu masz napisane, że:

przynajmniej jedno z nich dostało po przynajmniej jednym owocu
madziszyn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 3 lis 2013, o 22:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Rozdawanie jabłek.

Post autor: madziszyn »

Spoko wiem co to znaczy piszę tylko skrótami myślowymi. Są trzy typy owoców. Jest ich łącznie 14 sztuk. Każde z trojga dzieci musi dostać jeden (edit. PRZYNAJMNIEJ oczywcie) owoc, nie ważne jakiego typu. Ale przy zliczaniu jest to istotne jakiego typu owoce ma dziecko.
mat_61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4618
Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Pomógł: 866 razy

Rozdawanie jabłek.

Post autor: mat_61 »

madziszyn pisze:Spoko wiem co to znaczy piszę tylko skrótami myślowymi.
W tym rzecz, że takie skróty myślowe całkowicie zmieniają treść zadania co oznacza, że nie należy ich stosować.
madziszyn pisze:Każde z trojga dzieci musi dostać jeden (edit. PRZYNAJMNIEJ oczywiście) owoc, nie ważne jakiego typu.
Dlaczego uważasz, że każde dziecko musi coś dostać? Przecież w zadaniu masz wyraźnie napisane:

tak by przynajmniej jedno z nich
madziszyn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 3 lis 2013, o 22:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Rozdawanie jabłek.

Post autor: madziszyn »

Oczywiście masz rację :D Zasugerowałem się treścią zadania ze zbioru, który mi zadali na dyskretną, a brzmi ono "Na ile sposobów można rozdać (tutaj dane takie same) , tak aby KAŻDE dostało po przynajmniej jednym owocu". Myślę, że autorowi tematu chodziło o tą treść, a pomylił się w przepisywaniu ;p Skoro mam u siebie 'prawie' identyczne zadanie to chyba nie jest to przypadek. No ale zwracam honor i gratuluje cierpliwości. Godna podziwu
mat_61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4618
Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Pomógł: 866 razy

Rozdawanie jabłek.

Post autor: mat_61 »

Teraz to inaczej to wygląda.

Jeżeli treść zadania jest taka jak podałeś wyżej, to oczywiście rozwiązanie dające wynik \(\displaystyle{ 666}\) jest poprawne.

Należy rozdzielić między dzieci gruszkę i śliwkę, co możemy zrobić na \(\displaystyle{ 3^2=9}\) różnych sposobów, z czego:

- sześć z nich jest takich, że jedno dziecko zostaje bez owoców. Wówczas dajemy temu dziecko jabłko a pozostałe \(\displaystyle{ 11}\) jabłek rozdzielamy dowolnie pomiędzy wszystkich

- trzy z nich są takie, że dwoje dzieci zostaje bez owoców. Wówczas dajemy tym dzieciom po jednym jabłku a pozostałe \(\displaystyle{ 10}\) jabłek rozdzielamy dowolnie pomiędzy wszystkich.
ODPOWIEDZ