Podwójny nieporządek - agencja towarzyska

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
huteusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 5 lis 2010, o 16:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków Śródmieście
Podziękował: 8 razy

Podwójny nieporządek - agencja towarzyska

Post autor: huteusz »

Witam, proszę o pomoc z następującym zadaniem:

n mężczyzn odwiedziło agencję towarzyską i każdy z nich zostawił w szatni płaszcz i parasol. Kiedy otrzymano wiadomość o możliwości przyjścia policji każdy z mężczyzn w popłochu opuścił agencję biorąc nie swój parasol lub nie swój płaszcz. Udowodnij, że mogli to zrobić na

\(\displaystyle{ n!(n! - \frac{(n-1)!}{1!} + \frac{(n-2)!}{2!} - (-1)^{n} \frac{1}{n!} )}\)

Jak się w ogóle za coś takiego zabrać? Wzór ten przypomina liczbę nieporządków, zasadę włączeń-wyłączeń, ale kompletnie nie widzę żadnego tropu. Jest to jakby podwójny nieporządek, bo każdy bierze nie swój parasol LUB nie swoj plaszcz.

Można prosić o jakieś wskazówki?
Dziękuję.
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

Podwójny nieporządek - agencja towarzyska

Post autor: »

Rozumowanie jest analogiczne jak w przypadku zwykłych nieporządków - oznaczamy przez \(\displaystyle{ A_k}\) zdarzenie polegające na tym, że \(\displaystyle{ k}\)-ty mężczyzna wziął swój kapelusz i swój parasol, i używając reguły włączeń i wyłączeń liczymy:
\(\displaystyle{ \left| A_1' \cap A_2' \cap \ldots \cap A_n'\right|}\)

Po użyciu rzeczonej reguły pozostaje policzyć co się dzieje gdy dokładnie \(\displaystyle{ k}\) mężczyzn wzięło swoje kapelusze i parasole - tzn. na ile sposobów mogli wziąć swoje rzeczy pozostali mężczyźni, co jest proste, bo jest to po prostu \(\displaystyle{ ((n-k)!)^2}\). Szczegóły już łatwo dopracować.

Q.
ODPOWIEDZ