(a) W ilu liczbach naturalnych i mniejszych od 100000 w zapisie dziesiętnym występują równocześnie cyfry 3, 6 i 9?
(b) W ilu liczbach naturalnych i mniejszych od 100000 w zapisie dziesiętnym występuje choć jedna z cyfr 3, 6 i 9?
Ogólnie pomysły miałem różne, jednak problemem jest to, że wszędzie wychodzą mi podwójnie te same możliwości...
Jak użyć tu zasady sita? Jakie zbiory "wytworzyć"? Najbardziej upierdliwe wydaja sie tu części wspólne.
Pozdrawiam i dzięki za odpowiedź.
Ilość liczb zawierających 3,6,9 - Zasada sita
-
Kartezjusz
- Użytkownik
- Posty: 7330
- Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 961 razy
Ilość liczb zawierających 3,6,9 - Zasada sita
Użyj zasady włączeń i wyłączeń:
Zdarzenia :
\(\displaystyle{ A_{i};i=1,2,3}\)-występuje cyfra\(\displaystyle{ 3i}\)
a) Występują wszystkie trzy. Musimy rozdzielić liczby na te poszczególnej długości . Trzycyfrowych znajdziesz \(\displaystyle{ 3!}\)
w liczbach większych rozdziel na te, ktore zaczynają się na \(\displaystyle{ 3,6,9}\) i na pozostałe niezerowe cyfry.
Hasło " występują" oznacza, że mogą się one postarzać.
Taka wskazóweczka na początek. Pytaj się na bieżąco:)
Zdarzenia :
\(\displaystyle{ A_{i};i=1,2,3}\)-występuje cyfra\(\displaystyle{ 3i}\)
a) Występują wszystkie trzy. Musimy rozdzielić liczby na te poszczególnej długości . Trzycyfrowych znajdziesz \(\displaystyle{ 3!}\)
w liczbach większych rozdziel na te, ktore zaczynają się na \(\displaystyle{ 3,6,9}\) i na pozostałe niezerowe cyfry.
Hasło " występują" oznacza, że mogą się one postarzać.
Taka wskazóweczka na początek. Pytaj się na bieżąco:)
-
huteusz
- Użytkownik
- Posty: 21
- Rejestracja: 5 lis 2010, o 16:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków Śródmieście
- Podziękował: 8 razy
Ilość liczb zawierających 3,6,9 - Zasada sita
Wiem że mogą się powtarzać. Właśnie tu się pojawia problem, żeby nie policzyć dwukrotnie tych samych możliwości...
Myślałem nad tym:
- największa możliwa liczba to 99999
- możemy zaakceptować zera na początku, wtedy mamy np liczbę 03691 = 3691
- wybieramy \(\displaystyle{ {5 \choose 3}}\) - miejsca na liczby 3 6 9, \(\displaystyle{ 3!}\) to ilość ich permutacji
- na pozostałych miejscach dowolne liczby.
Ale wtedy liczy się podwójnie możliwości w których 3 lub 6 lub 9 występuje więcej niż jeden raz.
Nie do końca rozumiem, co ma na celu rozdzielenie tego na liczby 3,4 i 5 cyfrowe. Gdyż to że mam 4-cyfrowe wcale nie ułatwia mi znalezienia tych właśnie liczb.
Podpunkt B zdaje się prostszy.
\(\displaystyle{ #A}\) - wybieramy miejsce na 3 \(\displaystyle{ {5 \choose 1}}\), na pozostałych 4 miejscach dowolne 10 cyfr
\(\displaystyle{ #B}\) - j/w. tylko dla 6
\(\displaystyle{ #C}\)- j/w. tylko dla 9
\(\displaystyle{ #A \cap B}\) - wybieramy dwa miejsca na 3 oraz 6: \(\displaystyle{ {5 \choose 2}}\) - na pozostałych 3 dowolne 10 cyfr
\(\displaystyle{ #A \cap C, #B \cap C, #A \cap B \cap C}\) - analogicznie
A dalej z zasady sita. Ale czy to poprawnie?
Myślałem nad tym:
- największa możliwa liczba to 99999
- możemy zaakceptować zera na początku, wtedy mamy np liczbę 03691 = 3691
- wybieramy \(\displaystyle{ {5 \choose 3}}\) - miejsca na liczby 3 6 9, \(\displaystyle{ 3!}\) to ilość ich permutacji
- na pozostałych miejscach dowolne liczby.
Ale wtedy liczy się podwójnie możliwości w których 3 lub 6 lub 9 występuje więcej niż jeden raz.
Nie do końca rozumiem, co ma na celu rozdzielenie tego na liczby 3,4 i 5 cyfrowe. Gdyż to że mam 4-cyfrowe wcale nie ułatwia mi znalezienia tych właśnie liczb.
Podpunkt B zdaje się prostszy.
\(\displaystyle{ #A}\) - wybieramy miejsce na 3 \(\displaystyle{ {5 \choose 1}}\), na pozostałych 4 miejscach dowolne 10 cyfr
\(\displaystyle{ #B}\) - j/w. tylko dla 6
\(\displaystyle{ #C}\)- j/w. tylko dla 9
\(\displaystyle{ #A \cap B}\) - wybieramy dwa miejsca na 3 oraz 6: \(\displaystyle{ {5 \choose 2}}\) - na pozostałych 3 dowolne 10 cyfr
\(\displaystyle{ #A \cap C, #B \cap C, #A \cap B \cap C}\) - analogicznie
A dalej z zasady sita. Ale czy to poprawnie?