Pokaż że dla \(\displaystyle{ n>1}\) mamy: \(\displaystyle{ {n \choose 1}-2 {n \choose 2}+3 {n \choose 3}-...=0}\).
Kompletnie nie wiem jak się za to zabrać :/.
Nie proszę o rozwiązanie, bo pewnie tak by było najprościej, ale o jakieś wskazówki.
Udowodnij równanie
-
kumpelka212
- Użytkownik
- Posty: 30
- Rejestracja: 14 sty 2013, o 14:19
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 16 razy
Udowodnij równanie
Ostatnio zmieniony 22 paź 2013, o 22:49 przez Qń, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Nie kasuj postów na które udzielono odpowiedzi.
Powód: Nie kasuj postów na które udzielono odpowiedzi.
-
szw1710
Udowodnij równanie
Spróbuj sprytnie zastosować wzór na dwumian Newtona. Albo - jeśli nie pójdzie - na postać \(\displaystyle{ n}\)-tej iteraty operatora różnicy dla dobrze dobranej funkcji.
Myślę o czymś takim: \(\displaystyle{ \Delta_h f(x)=f(x+h)-f(x)}\) oraz \(\displaystyle{ \Delta_h^{n+1} f(x)=\Delta_h\Delta_h^n f(x)}\). Wtedy np. \(\displaystyle{ \Delta_h^3 f(x)=f(x+3h)-3f(x+2h)+3f(x+h)-f(x)}\). Ogólnie
\(\displaystyle{ \Delta_h^n f(x)=\sum_{k=0}^n (-1)^{n-k}\binom{n}{k}f(x+kh)}\).
Powyższy wzór dowodzimy przez łatwą indukcję podobnie jak wzór na dwumian Newtona.
Trafiłem Przyjmij tu \(\displaystyle{ f(x)=x}\) oraz \(\displaystyle{ x=0}\), \(\displaystyle{ h=1}\). Kiedyś pokazałem to ogólniej w jednej ze swoich prac naukowych jako lemat. Dlatego coś mi tu się skojarzyło.
Zauważ, że dla \(\displaystyle{ f(x)=x}\) oraz \(\displaystyle{ n>1}\) mamy \(\displaystyle{ \Delta_h^nf(x)=0}\), gdyż już \(\displaystyle{ \Delta_h^2f(x)=0}\).
Ogólniej, jeśli \(\displaystyle{ i\in\{1,\dots,n\}}\), to \(\displaystyle{ \Delta_h^n f(x)=0}\), więc przyjmując \(\displaystyle{ f(x)=x^i}\) oraz \(\displaystyle{ x=0,h=1}\) mamy
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^n(-1)^{n-k}\binom{n}{k}k^i=0}\).
To jest to "coś więcej".
Myślę o czymś takim: \(\displaystyle{ \Delta_h f(x)=f(x+h)-f(x)}\) oraz \(\displaystyle{ \Delta_h^{n+1} f(x)=\Delta_h\Delta_h^n f(x)}\). Wtedy np. \(\displaystyle{ \Delta_h^3 f(x)=f(x+3h)-3f(x+2h)+3f(x+h)-f(x)}\). Ogólnie
\(\displaystyle{ \Delta_h^n f(x)=\sum_{k=0}^n (-1)^{n-k}\binom{n}{k}f(x+kh)}\).
Powyższy wzór dowodzimy przez łatwą indukcję podobnie jak wzór na dwumian Newtona.
Trafiłem Przyjmij tu \(\displaystyle{ f(x)=x}\) oraz \(\displaystyle{ x=0}\), \(\displaystyle{ h=1}\). Kiedyś pokazałem to ogólniej w jednej ze swoich prac naukowych jako lemat. Dlatego coś mi tu się skojarzyło.
Zauważ, że dla \(\displaystyle{ f(x)=x}\) oraz \(\displaystyle{ n>1}\) mamy \(\displaystyle{ \Delta_h^nf(x)=0}\), gdyż już \(\displaystyle{ \Delta_h^2f(x)=0}\).
Ogólniej, jeśli \(\displaystyle{ i\in\{1,\dots,n\}}\), to \(\displaystyle{ \Delta_h^n f(x)=0}\), więc przyjmując \(\displaystyle{ f(x)=x^i}\) oraz \(\displaystyle{ x=0,h=1}\) mamy
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^n(-1)^{n-k}\binom{n}{k}k^i=0}\).
To jest to "coś więcej".