Zasada włacz - wyłacz

kalafior7 · Post autor: **kalafior7** » 20 paź 2013, o 21:26

Bardzo bym prosiła o rozwiązanie poniższego zadania:

Na ile sposobów trzy osoby mogą wybrać spośród pięciu par rękawiczek po prawej i lewej rękawiczce tak, aby żadna osoba nie dostała pary?

Wiem, że należy zastosować tu zasadę włączeń i wyłączeń, ale nie mam zielonego pojęcia jak to zrobić

rafalpw · Post autor: **rafalpw** » 20 paź 2013, o 21:38

Zdefiniuj sobie zbiór \(\displaystyle{ A_i}\) , który oznacza zbiór zdarzeń takich, że \(\displaystyle{ i}\)- ta osoba dostanie parę.

kalafior7 · Post autor: **kalafior7** » 21 paź 2013, o 06:42

A czy mógłbyś mi to rozpisać ? Baaaardzo proszę

Kartezjusz · Post autor: **Kartezjusz** » 21 paź 2013, o 08:52

Wszystkich zdarzeń mamy \(\displaystyle{ {10 \choose 6}}\). Zformuuj zdarzenie przeciwne do tego, o które jesteś pytana. jak je wykorzystasz?

kalafior7 · Post autor: **kalafior7** » 22 paź 2013, o 09:24

Gdybym znała odpowiedź, to bym nie prosiła o pomoc...

Kartezjusz · Post autor: **Kartezjusz** » 22 paź 2013, o 09:36

To jest wskazówka. Pytana jesteś o prawdopodobieństwo,że żadana osoba nie ma sparowanych rękawiczek. Przeciwne to jest, że ktoraś ma rękawiczki do pary, co możesz zapisać jako, że albo osoba pierwsza lub druga lub trzecia mają rękawiczki do pary. Potem używasz wskazówki @rafalpw.

kalafior7 · Post autor: **kalafior7** » 22 paź 2013, o 17:52

Kartezjusz, a czy byłbyś tak dobry i napisałbyś jak to ma wyglądać ?

Naed Nitram · Post autor: **Naed Nitram** » 23 paź 2013, o 01:29

\(\displaystyle{ A_i}\) oznacza zbiór możliwych wyborów rękawiczek, takich, że i-ta osoba dostała do pary.

Wówczas należy wyznaczyć liczności zbiorów:

\(\displaystyle{ A_1}\)
\(\displaystyle{ A_1\cap A_2}\)
\(\displaystyle{ A_1\cap A_2\cap A_3}\)

co jest nieco łatwiejsze niż policzenie na wprost tego o co chodzi w zadaniu, następnie zastosować wzór WW:

\(\displaystyle{ \left|\bigcup A_i\right|=|A_1|+|A_2|+|A_3|-|A_1\cap A_2|-|A_1\cap A_3|-|A_2\cap A_3|+|A_1\cap A_2\cap A_3|=}\)

\(\displaystyle{ =3|A_1|-3|A_1\cap A_2|+|A_1\cap A_2\cap A_3|}\)

i w końcu odjąć to powyżej od liczby wszystkich wyborów.

Niestety poległem próbując wyrachować w środku nocy. Wypiszę, co mi wyszło, ale mogą być błędy:

\(\displaystyle{ |A_1|=360}\)
\(\displaystyle{ |A_1\cap A_2|=180}\)
\(\displaystyle{ |A_1\cap A_2\cap A_3|=60}\)

\(\displaystyle{ \left|\bigcup A_i\right|=1080-540+60=600}\)

Wszystkich wyborów: \(\displaystyle{ 3600}\)

Odpowiedź: \(\displaystyle{ 3000}\).