Ustawienia przy okrągłym stole.

[1608]

Mam parę zadań z kombinatoryki:
1. Na ile różnych sposobów można rozsadzić przy okrągłym stole z 2n miejscami n kobiet i n mężczyzn, tak by dwie osoby tej samej płci nie siedziały obok siebie?

2. Na ile różnych sposobów można rozsadzić przy okrągłym stole 2n+1 miejscami n kobiet i n mężczyzn, tak by dwie osoby tej samej płci nie siedziały obok siebie?

3. Na ile różnych sposobów można wybrać na wyprawę k spośród n rycerzy okrągłego stołu, jeśli nie wolno wybrać żadnych dwóch sąsiadów?

Ad.1 Ustawiam sobie że na nieparzystych kobiety a na parzystych siedzą mężczyźni. Czyli możliwości jest \(\displaystyle{ (n!) \cdot (n!)}\). Teraz jakoś muszę uwzględnić to że miejsca tych mężczyzn i kobiet mogą się zmieniać. Nie wiem tylko jak.

Ad.2 Wybieram jedno miejsce na \(\displaystyle{ 2n+1}\) które będzie puste. Znowu ustawiam jak poprzednio \(\displaystyle{ (n!)\cdot(n!)}\). Ale dalej nie wiem co dalej.

Ad.3 Wybieram \(\displaystyle{ {n \choose 1}}\) potem \(\displaystyle{ {n-3 \choose 1}}\)... i tak \(\displaystyle{ k}\) razy Nie wiem tylko jak to zapisać.

[Kartezjusz]

1,2...Stół jest okrągły zatemnie rozóżnia ok kogo zaczynamy liczenie, więc licząc od kobiety i od mężczyzny mamy ten sam wynik.
3)mówi ci coś symbol \(\displaystyle{ \prod_{i=1}^{k}x_{i}}\) ?

[1608]

Czyli w 1 będzie \(\displaystyle{ \frac{ (n!)^{2} }{2n}}\) ?
a w 2) \(\displaystyle{ \frac{(n!)^{2} \cdot (2n+1)}{2n+1}}\) ?
3) Już mi mówi i pracuje nad tym
Dziękuje bardzo.