Ciąg zdefiniowany zależnością rekurencyjną

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
Matiks21
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 562
Rejestracja: 20 maja 2013, o 16:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 98 razy

Ciąg zdefiniowany zależnością rekurencyjną

Post autor: Matiks21 »

\(\displaystyle{ x_{1}=3, x_{2}=1, x_{3}=-3, x_{n+3}=3x_{n+2}-4x_{n+1}+2x_{n}}\) dla \(\displaystyle{ n \in N}\)
Wykazać że ciąg ten nie jest ograniczony oraz że istnieje nieskończenie wiele n takich że \(\displaystyle{ x_{n}=1}\).

Proszę tylko o pomysły
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

Ciąg zdefiniowany zależnością rekurencyjną

Post autor: »

Rozwiąż po prostu tę rekurencję standardowymi metodami, to łatwo zauważysz, że \(\displaystyle{ a_{4k+2}=1}\) oraz \(\displaystyle{ a_{4k}}\) mogą przyjmować dowolnie duże wartości.

Q.
Matiks21
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 562
Rejestracja: 20 maja 2013, o 16:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 98 razy

Ciąg zdefiniowany zależnością rekurencyjną

Post autor: Matiks21 »

Co to znaczy "standardowymi metodami"?
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

Ciąg zdefiniowany zależnością rekurencyjną

Post autor: »

Przy użyciu równania charakterystycznego: 304902.htm

Q.
Matiks21
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 562
Rejestracja: 20 maja 2013, o 16:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 98 razy

Ciąg zdefiniowany zależnością rekurencyjną

Post autor: Matiks21 »

a jakoś bez równań charakterystycznych? Nie mogę używać takich narzędzi.
Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7330
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 961 razy

Ciąg zdefiniowany zależnością rekurencyjną

Post autor: Kartezjusz »

Wylicz kilka pierwszych wyrazów i indukcyjnie dowiedź to co stwierdził Qń
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

Ciąg zdefiniowany zależnością rekurencyjną

Post autor: »

Kartezjusz pisze:Wylicz kilka pierwszych wyrazów i indukcyjnie dowiedź to co stwierdził Qń
Raczej kilkanaście (jeśli nie kilkadziesiąt), a i tak nie jest łatwo na podstawie tych wyrazów odgadnąć, że:
\(\displaystyle{ a_{4k}=1 + 2\cdot (-4)^k\\
a_{4k+1}= 1 + 2\cdot (-4)^k\\
a_{4k+2}=1\\
a_{4k+3} = 1- 4 \cdot (-4)^k}\)


Q.
Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7330
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 961 razy

Ciąg zdefiniowany zależnością rekurencyjną

Post autor: Kartezjusz »

Tylko co możemy zaproponować jeśli nie może używać metod z matematyki dyskretnej?
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

Ciąg zdefiniowany zależnością rekurencyjną

Post autor: »

Zgadza się - jeśli wykluczymy podstawowe metody, to nie pozostaje chyba nic innego (co najwyżej można "wymyślić" podstawienie \(\displaystyle{ a_n=2b_n+1}\), które ułatwi odgadywanie). Ale to świadczy tylko o tym, że raczej ciężko uwierzyć, żeby kontekst w jakim pojawiło się to zadanie wykluczał użycie standardowych narzędzi.

Q.
ODPOWIEDZ