Tożsamości liczb naturalnych

[Agata80]

Udowodnij poniższe tożsamości, ustalając dla jakich liczb naturalnych n są prawdziwe:
a) \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k = \frac{n(n+1)}{2} = {n \choose 2}}\)

b) \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} k ^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}\)

c) \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} k ^{3} = \left( \sum_{k=1}^{n} k\right) ^{2}}\)

d) \(\displaystyle{ 1+2+ 2^{2}+...+ 2^{n} = \sum_{k=0}^{n} 2 ^{k} = 2 ^{n+1} - 1}\)

[Chromosom]

1. \(\displaystyle{ \sum\limits^n_{k=0}k=\sum\limits^n_{k=0}(n-k)}\)

2. Zastosuj metodę zaburzania (należy zaburzać sumę liczb podniesionych do potęgi wyższej o 1) lub sumowania przez części.

3. Podobnie, jak wyżej.

4. Zastosuj wzór na sumę \(\displaystyle{ n}\) wyrazów ciągu geometrycznego lub narzędzia rachunku różnicowego.

[Agata80]

byłabym wdzięczna za rozwiązanie tych przykładów, żebym mogła na ich podstawie zrozumieć o co w tym wszystkim chodzi, gdyż z ćwiczeń i wykładów nic nie wyniosłam.

[Chromosom]

Napisałem już, jak należy rozwiązać to zadanie.

Ewentualnie mogę jeszcze zaproponować metodę indukcji. Czy taka nazwa pojawiła się na wykładzie?

[Agata80]

tak

[Chromosom]

Proszę zatem zastosować tę metodę. Masz do dyspozycji podręczniki i przykładowe rozwiązania. Najpierw spróbuj rozwiązać pierwsze zadanie, bo jest najłatwiejsze.

[Agata80]

gdybym znalazła jakąkolwiek pomoc w podręczniku, to nie kłopotałabym się ze wstawianiem tego tutaj i nie zawracałabym ludziom głowy.

[yorgin]

Kompendium

[Agata80]

no nic, nadal nie wiem, jak się za to zabrać.

[Chromosom]

Zamieszczanie drugi raz tego samego tematu nie jest rozwiązaniem. Jeśli podręcznik nie jest pomocny, poszukaj informacji na temat metody indukcji matematycznej w innych źródłach. Przykładowo - serwis ... 2%C3%B3wna

[Agata80]

Byłoby dużo łatwiej, gdyby ktoś mi po prostu pomógł. Od tego to forum chyba jest, prawda?

[yorgin]

Byłoby dużo łatwiej, gdyby ktoś mi po prostu pomógł.

Masz łopatologicznie omówiony przykład z kompendium, do którego link Ci podałem.

Na stronie jest seria znów szczegółowo przedstawionych przykładów. Są ćwiczenia oraz rozwiązania do tychże.

Czego jeszcze Ci potrzeba? Chcesz gotowych rozwiązań? Dostałaś przykłady, w tym jedno zadanie z tych, które masz. Zadanie rozwiązane i szczegółowo opisane. Więc zacznij od zrozumienia tego. Bo jest porządnie napisane.

[Agata80]

Nigdzie nie mogę znaleźć zadań o poleceniu podobnym do mojego, chciałam, żeby ktoś rozwiązał chociaż jeden przykład i mi go wytłumaczył a nie podsyłał nieprzydatne linki, które widziałam milion razy. Jeśli nie jesteś w stanie, to trudno, nie masz obowiązku mi pomagać, poczekam na kogoś, kto to zrobi.

[Chromosom]

Udowodnij poniższe tożsamości, ustalając dla jakich liczb naturalnych n są prawdziwe:

Indukcja matematyczna pozwala na uzasadnienie, że tożsamości te są prawdziwe dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\). Czyli zamiast obecnego polecenia, można napisać: udowodnij za pomocą indukcji matematycznej, i rozwiązać tak samo, jak przykłady z zamieszczonych odnośników.

Wystarczy już tej dyskusji - jeśli następna wiadomość nie będzie zawierała merytorycznej treści oraz konkretnych pytań w sprawie rozwiązania zadania, zostanie wydzielona.

[Naed Nitram]

d)
\(\displaystyle{ (1+x+...+x^n)(x-1)=(x+x^2+...+x^{n+1})-(1+x+...+x^n)=x^{n+1}-1}\)

I wystarczy wstawić \(\displaystyle{ x=2}\).

Żeby nieco popchnąć tę indukcję, np. c):

Rozważmy prawą stronę - próbujemy tak ją zmodyfikować, żeby pojawiła się suma dla \(\displaystyle{ n-1}\):

\(\displaystyle{ \left(\sum_{k=1}^n k\right)^2=\left(\sum_{k=1}^{n-1}k+n\right)^2=\left(\sum_{k=1}^{n-1}k\right)^2+2n\sum_{k=1}^{n-1}k+n^2}\)

Z a), po wykazaniu można skorzystać, wynika, że:

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n-1}k=\frac{n(n-1)}2}\)

skąd

\(\displaystyle{ 2n\sum_{k=1}^{n-1}k+n^2=n^2(n-1)+n^2=n^3-n^2+n^2=n^3}\).

To znaczy otrzymaliśmy:

\(\displaystyle{ \left(\sum_{k=1}^n k\right)^2=\left(\sum_{k=1}^{n-1}k\right)^2+n^3}\).

czyli krok indukcyjny. Wystarczy więc dodać sprawdzenie, że dla \(\displaystyle{ n=1}\) teza zachodzi i wykazanie, że a) jest prawdziwe dla \(\displaystyle{ n\ge 1}\).