Tożsamości liczb naturalnych
-
- Użytkownik
- Posty: 20
- Rejestracja: 14 lut 2013, o 17:08
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 2 razy
Tożsamości liczb naturalnych
Udowodnij poniższe tożsamości, ustalając dla jakich liczb naturalnych n są prawdziwe:
a) \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k = \frac{n(n+1)}{2} = {n \choose 2}}\)
b) \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} k ^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}\)
c) \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} k ^{3} = \left( \sum_{k=1}^{n} k\right) ^{2}}\)
d) \(\displaystyle{ 1+2+ 2^{2}+...+ 2^{n} = \sum_{k=0}^{n} 2 ^{k} = 2 ^{n+1} - 1}\)
a) \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k = \frac{n(n+1)}{2} = {n \choose 2}}\)
b) \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} k ^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}\)
c) \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} k ^{3} = \left( \sum_{k=1}^{n} k\right) ^{2}}\)
d) \(\displaystyle{ 1+2+ 2^{2}+...+ 2^{n} = \sum_{k=0}^{n} 2 ^{k} = 2 ^{n+1} - 1}\)
Ostatnio zmieniony 9 paź 2013, o 19:41 przez Chromosom, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale.
-
- Moderator
- Posty: 10365
- Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 127 razy
- Pomógł: 1271 razy
Tożsamości liczb naturalnych
1. \(\displaystyle{ \sum\limits^n_{k=0}k=\sum\limits^n_{k=0}(n-k)}\)
2. Zastosuj metodę zaburzania (należy zaburzać sumę liczb podniesionych do potęgi wyższej o 1) lub sumowania przez części.
3. Podobnie, jak wyżej.
4. Zastosuj wzór na sumę \(\displaystyle{ n}\) wyrazów ciągu geometrycznego lub narzędzia rachunku różnicowego.
2. Zastosuj metodę zaburzania (należy zaburzać sumę liczb podniesionych do potęgi wyższej o 1) lub sumowania przez części.
3. Podobnie, jak wyżej.
4. Zastosuj wzór na sumę \(\displaystyle{ n}\) wyrazów ciągu geometrycznego lub narzędzia rachunku różnicowego.
-
- Użytkownik
- Posty: 20
- Rejestracja: 14 lut 2013, o 17:08
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 2 razy
Tożsamości liczb naturalnych
byłabym wdzięczna za rozwiązanie tych przykładów, żebym mogła na ich podstawie zrozumieć o co w tym wszystkim chodzi, gdyż z ćwiczeń i wykładów nic nie wyniosłam.
-
- Moderator
- Posty: 10365
- Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 127 razy
- Pomógł: 1271 razy
Tożsamości liczb naturalnych
Napisałem już, jak należy rozwiązać to zadanie.
Ewentualnie mogę jeszcze zaproponować metodę indukcji. Czy taka nazwa pojawiła się na wykładzie?
Ewentualnie mogę jeszcze zaproponować metodę indukcji. Czy taka nazwa pojawiła się na wykładzie?
-
- Moderator
- Posty: 10365
- Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 127 razy
- Pomógł: 1271 razy
Tożsamości liczb naturalnych
Proszę zatem zastosować tę metodę. Masz do dyspozycji podręczniki i przykładowe rozwiązania. Najpierw spróbuj rozwiązać pierwsze zadanie, bo jest najłatwiejsze.
-
- Użytkownik
- Posty: 20
- Rejestracja: 14 lut 2013, o 17:08
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 2 razy
Tożsamości liczb naturalnych
gdybym znalazła jakąkolwiek pomoc w podręczniku, to nie kłopotałabym się ze wstawianiem tego tutaj i nie zawracałabym ludziom głowy.
-
- Moderator
- Posty: 10365
- Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 127 razy
- Pomógł: 1271 razy
Tożsamości liczb naturalnych
Zamieszczanie drugi raz tego samego tematu nie jest rozwiązaniem. Jeśli podręcznik nie jest pomocny, poszukaj informacji na temat metody indukcji matematycznej w innych źródłach. Przykładowo - serwis ... 2%C3%B3wna
-
- Użytkownik
- Posty: 20
- Rejestracja: 14 lut 2013, o 17:08
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 2 razy
Tożsamości liczb naturalnych
Byłoby dużo łatwiej, gdyby ktoś mi po prostu pomógł. Od tego to forum chyba jest, prawda?
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Tożsamości liczb naturalnych
Masz łopatologicznie omówiony przykład z kompendium, do którego link Ci podałem.Agata80 pisze:Byłoby dużo łatwiej, gdyby ktoś mi po prostu pomógł.
Na stronie jest seria znów szczegółowo przedstawionych przykładów. Są ćwiczenia oraz rozwiązania do tychże.
Czego jeszcze Ci potrzeba? Chcesz gotowych rozwiązań? Dostałaś przykłady, w tym jedno zadanie z tych, które masz. Zadanie rozwiązane i szczegółowo opisane. Więc zacznij od zrozumienia tego. Bo jest porządnie napisane.
-
- Użytkownik
- Posty: 20
- Rejestracja: 14 lut 2013, o 17:08
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 2 razy
Tożsamości liczb naturalnych
Nigdzie nie mogę znaleźć zadań o poleceniu podobnym do mojego, chciałam, żeby ktoś rozwiązał chociaż jeden przykład i mi go wytłumaczył a nie podsyłał nieprzydatne linki, które widziałam milion razy. Jeśli nie jesteś w stanie, to trudno, nie masz obowiązku mi pomagać, poczekam na kogoś, kto to zrobi.
-
- Moderator
- Posty: 10365
- Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 127 razy
- Pomógł: 1271 razy
Tożsamości liczb naturalnych
Indukcja matematyczna pozwala na uzasadnienie, że tożsamości te są prawdziwe dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\). Czyli zamiast obecnego polecenia, można napisać: udowodnij za pomocą indukcji matematycznej, i rozwiązać tak samo, jak przykłady z zamieszczonych odnośników.Udowodnij poniższe tożsamości, ustalając dla jakich liczb naturalnych n są prawdziwe:
Wystarczy już tej dyskusji - jeśli następna wiadomość nie będzie zawierała merytorycznej treści oraz konkretnych pytań w sprawie rozwiązania zadania, zostanie wydzielona.
-
- Użytkownik
- Posty: 121
- Rejestracja: 8 paź 2013, o 17:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hd
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 44 razy
Tożsamości liczb naturalnych
d)
\(\displaystyle{ (1+x+...+x^n)(x-1)=(x+x^2+...+x^{n+1})-(1+x+...+x^n)=x^{n+1}-1}\)
I wystarczy wstawić \(\displaystyle{ x=2}\).
Żeby nieco popchnąć tę indukcję, np. c):
Rozważmy prawą stronę - próbujemy tak ją zmodyfikować, żeby pojawiła się suma dla \(\displaystyle{ n-1}\):
\(\displaystyle{ \left(\sum_{k=1}^n k\right)^2=\left(\sum_{k=1}^{n-1}k+n\right)^2=\left(\sum_{k=1}^{n-1}k\right)^2+2n\sum_{k=1}^{n-1}k+n^2}\)
Z a), po wykazaniu można skorzystać, wynika, że:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n-1}k=\frac{n(n-1)}2}\)
skąd
\(\displaystyle{ 2n\sum_{k=1}^{n-1}k+n^2=n^2(n-1)+n^2=n^3-n^2+n^2=n^3}\).
To znaczy otrzymaliśmy:
\(\displaystyle{ \left(\sum_{k=1}^n k\right)^2=\left(\sum_{k=1}^{n-1}k\right)^2+n^3}\).
czyli krok indukcyjny. Wystarczy więc dodać sprawdzenie, że dla \(\displaystyle{ n=1}\) teza zachodzi i wykazanie, że a) jest prawdziwe dla \(\displaystyle{ n\ge 1}\).
\(\displaystyle{ (1+x+...+x^n)(x-1)=(x+x^2+...+x^{n+1})-(1+x+...+x^n)=x^{n+1}-1}\)
I wystarczy wstawić \(\displaystyle{ x=2}\).
Żeby nieco popchnąć tę indukcję, np. c):
Rozważmy prawą stronę - próbujemy tak ją zmodyfikować, żeby pojawiła się suma dla \(\displaystyle{ n-1}\):
\(\displaystyle{ \left(\sum_{k=1}^n k\right)^2=\left(\sum_{k=1}^{n-1}k+n\right)^2=\left(\sum_{k=1}^{n-1}k\right)^2+2n\sum_{k=1}^{n-1}k+n^2}\)
Z a), po wykazaniu można skorzystać, wynika, że:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n-1}k=\frac{n(n-1)}2}\)
skąd
\(\displaystyle{ 2n\sum_{k=1}^{n-1}k+n^2=n^2(n-1)+n^2=n^3-n^2+n^2=n^3}\).
To znaczy otrzymaliśmy:
\(\displaystyle{ \left(\sum_{k=1}^n k\right)^2=\left(\sum_{k=1}^{n-1}k\right)^2+n^3}\).
czyli krok indukcyjny. Wystarczy więc dodać sprawdzenie, że dla \(\displaystyle{ n=1}\) teza zachodzi i wykazanie, że a) jest prawdziwe dla \(\displaystyle{ n\ge 1}\).