Udowodnij - dwumian Newtona

[Scruffy]

Udowodnij, że dla liczb całkowitych nieujemnych\(\displaystyle{ n>k}\) zachodzi poniższy wzór:
\(\displaystyle{ {n\choose k} + {n\choose k+1} = {n+1\choose k+1}}\)
\(\displaystyle{ \frac{n!}{k!(n-k)!} + \frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}}\)
Niestety dalej nie wiem co z tym zrobić, z góry dzięki za pomoc.

[lukasz1804]

Dwa otrzymane składniki sumy traktowane jako ułamki sprowadź do wspólnego mianownika (skorzystaj przy tym z definicji silni).

[Scruffy]

\(\displaystyle{ \frac{n!}{k!(n-k-1)!(n-k)} + \frac{n!}{k!(k+1)(n-k-1)!}}\)
Nie wiem niestety co dalej.

[Kartezjusz]

A teraz sprowadź do wspólnego mianownika. Masz ułamki.

[Scruffy]

\(\displaystyle{ \frac{n!(k!(k+1)(n-k-1)!)}{k!(n-k-1)!(n-k)(k!(k+1)(n-k-1)!)} + \frac{n!(k!(n-k-1)!(n-k))}{k!(k+1)(n-k-1)!(k!(n-k-1)!(n-k))}}\)
O to chodziło ?

[Kartezjusz]

Tak! Teraz dodaj te ułamki i pogrupuj.

[lukasz1804]

Nie dało się wpierw wyłączyć poza nawias jakiegoś wspólnego dla obu składników wyrażenia??

Twoje obliczenia są dość karkołomne.

[Kartezjusz]

a gdzieniegdzie skróć zostawiając to czego brakuje do wzoru,bo jak napisałłukasz da się sprowadzić dużo prościej.

[Scruffy]

Jakbyście mogli dokończyć to zadanie byłbym wdzięczny.

[lukasz1804]

\(\displaystyle{ \frac{n!}{k!(n-k-1)!(n-k)}+\frac{n!}{k!(k+1)(n-k-1)!}=\frac{n!}{k!(n-k-1)!}\left(\frac{1}{n-k}+\frac{1}{k+1}\right)=\frac{n!}{k!(n-k-1)!}\cdot\frac{k+1+n-k}{(n-k)(k+1)}=\frac{n!}{k!(n-k-1)!}\cdot\frac{n+1}{(n-k)(k+1)}=\frac{(n+1)!}{(k+1)!(n-k)!}=\frac{(n+1)!}{(k+1)![(n+1)-(k+1)]!}=\binom{n+1}{k+1}}\)