Suma liczb nieparzystych

[adka0147]

Udowodnij że
\(\displaystyle{ 1+3+...+(2n-1)=n ^{2}}\)
to suma \(\displaystyle{ n}\) pierwszych nieparzystych \(\displaystyle{ n ^{2}}\)
Prosiła bym również o wyjaśnienie, poszczególnych kroków - dlaczego tak a nie inaczej.
Z góry dziękuję i pozdrawiam

[zidan3]

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}2k-1=2\sum_{k=1}^{n}k - \sum_{k=1}^{n}1=2 \cdot \frac{n(n+1)}{2}-n=n^2}\)

[szw1710]

Zastosuj wzór na sumę \(\displaystyle{ n}\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.

Albo: podpisz jedno pod drugim: w pierwszej linii \(\displaystyle{ 1+3+\dots+(2n-1)}\). W drugiej linii w odwrotnej kolejności: \(\displaystyle{ (2n-1)+(2n-3)+\dots+1}\). Posumuj teraz odpowiadające sobie w pionie składniki - ich suma zawsze będzie \(\displaystyle{ 2n}\). A składników jest \(\displaystyle{ n}\). Więc razem mamy \(\displaystyle{ 2n\cdot n=2n^2}\). Ale to dwukrotna Twoja suma, bo podpisywaliśmy dwa razy. Więc wyjściowa suma wynosi \(\displaystyle{ n^2}\).

[yorgin]

Można to wykazać geometrycznie.

Zaczynamy od kwadratu \(\displaystyle{ 1 \times 1}\). Do jego prawego o dolnego boku doklejamy po \(\displaystyle{ 1}\) kwadracie, i dorzucamy \(\displaystyle{ 1}\) by dopełnić figurę do kwadratu \(\displaystyle{ 2 \times 2}\). Czyli \(\displaystyle{ 1+3=2^2}\).

Teraz do kwadratu \(\displaystyle{ 2 \times 2}\) doklejamy z prawej i z dołu po \(\displaystyle{ 2}\), i znów \(\displaystyle{ 1}\) dodatkowy by powstał kwadrat \(\displaystyle{ 3\times 3}\). Mamy \(\displaystyle{ 1+3+5=4+2\cdot 2+1=9=3^2}\)

Teraz łatwo przenieść to rozumowanie na indukcję.

[szw1710]

Tego nie znałem - świetne