Udowodnij że
\(\displaystyle{ 1+3+...+(2n-1)=n ^{2}}\)
to suma \(\displaystyle{ n}\) pierwszych nieparzystych \(\displaystyle{ n ^{2}}\)
Prosiła bym również o wyjaśnienie, poszczególnych kroków - dlaczego tak a nie inaczej.
Z góry dziękuję i pozdrawiam
Suma liczb nieparzystych
-
- Użytkownik
- Posty: 16
- Rejestracja: 22 maja 2011, o 17:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 3 razy
Suma liczb nieparzystych
Ostatnio zmieniony 6 paź 2013, o 23:03 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieregulaminowa nazwa tematu.
Powód: Nieregulaminowa nazwa tematu.
Suma liczb nieparzystych
Zastosuj wzór na sumę \(\displaystyle{ n}\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.
Albo: podpisz jedno pod drugim: w pierwszej linii \(\displaystyle{ 1+3+\dots+(2n-1)}\). W drugiej linii w odwrotnej kolejności: \(\displaystyle{ (2n-1)+(2n-3)+\dots+1}\). Posumuj teraz odpowiadające sobie w pionie składniki - ich suma zawsze będzie \(\displaystyle{ 2n}\). A składników jest \(\displaystyle{ n}\). Więc razem mamy \(\displaystyle{ 2n\cdot n=2n^2}\). Ale to dwukrotna Twoja suma, bo podpisywaliśmy dwa razy. Więc wyjściowa suma wynosi \(\displaystyle{ n^2}\).
Albo: podpisz jedno pod drugim: w pierwszej linii \(\displaystyle{ 1+3+\dots+(2n-1)}\). W drugiej linii w odwrotnej kolejności: \(\displaystyle{ (2n-1)+(2n-3)+\dots+1}\). Posumuj teraz odpowiadające sobie w pionie składniki - ich suma zawsze będzie \(\displaystyle{ 2n}\). A składników jest \(\displaystyle{ n}\). Więc razem mamy \(\displaystyle{ 2n\cdot n=2n^2}\). Ale to dwukrotna Twoja suma, bo podpisywaliśmy dwa razy. Więc wyjściowa suma wynosi \(\displaystyle{ n^2}\).
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Suma liczb nieparzystych
Można to wykazać geometrycznie.
Zaczynamy od kwadratu \(\displaystyle{ 1 \times 1}\). Do jego prawego o dolnego boku doklejamy po \(\displaystyle{ 1}\) kwadracie, i dorzucamy \(\displaystyle{ 1}\) by dopełnić figurę do kwadratu \(\displaystyle{ 2 \times 2}\). Czyli \(\displaystyle{ 1+3=2^2}\).
Teraz do kwadratu \(\displaystyle{ 2 \times 2}\) doklejamy z prawej i z dołu po \(\displaystyle{ 2}\), i znów \(\displaystyle{ 1}\) dodatkowy by powstał kwadrat \(\displaystyle{ 3\times 3}\). Mamy \(\displaystyle{ 1+3+5=4+2\cdot 2+1=9=3^2}\)
Teraz łatwo przenieść to rozumowanie na indukcję.
Zaczynamy od kwadratu \(\displaystyle{ 1 \times 1}\). Do jego prawego o dolnego boku doklejamy po \(\displaystyle{ 1}\) kwadracie, i dorzucamy \(\displaystyle{ 1}\) by dopełnić figurę do kwadratu \(\displaystyle{ 2 \times 2}\). Czyli \(\displaystyle{ 1+3=2^2}\).
Teraz do kwadratu \(\displaystyle{ 2 \times 2}\) doklejamy z prawej i z dołu po \(\displaystyle{ 2}\), i znów \(\displaystyle{ 1}\) dodatkowy by powstał kwadrat \(\displaystyle{ 3\times 3}\). Mamy \(\displaystyle{ 1+3+5=4+2\cdot 2+1=9=3^2}\)
Teraz łatwo przenieść to rozumowanie na indukcję.