Wyjaśnienie zadania z przestawieniem liter

[Kuba5093]

Witam.

Mam oto takie zadanie :

Mamy do dyspozycji klocki z literami A,A,T.T zmieniając kolejność liter otrzymujemy czteroliterowe słowa (mające sens lub nie) Ile jest takich słów?

Znalazłem na forum, że to równa się \(\displaystyle{ \frac{4!}{2! \cdot 2!}}\).
Mógłby ktoś wytłumaczyć dlaczego dzięki tym permutacją to liczymy tzn. dlaczego liczbę permutacje wszystkich liczb dzielimy przez permutacje ilości danych liczb ?

[ogre]

4!, ponieważ rozmieszczasz każdą z liter na kolejnej pozycji
mianownik mówi o tym, że A z A można zamieniać, a T z T można zamieniać, ale efekt końcowy jest ten sam, stąd rozmieszczasz jedno A na jednej pozycji, a pozostałe na drugiej, a odwrotność musisz "usunąć" z wyniku, analogicznie z T

[Kuba5093]

No tak, ale dlaczego to dzielimy ?

[mortan517]

\(\displaystyle{ permutacje \ nierownowazne = \frac{wszystkie \ permutacje}{permutacje \ rownowazne}}\)

[Snayk]

Dzielimy to po to, żeby z liczby wszystkich możliwych permutacji, pozbyć się takich ułożeń liter, w których zamieniasz miejscami TE SAME LITERY. Czyli np. jeśli, powiedzmy masz ułożyć byle jakie słowo z liter A,A,B,C, to popatrz, jeśli przestawisz litery A w słowie AABC, to masz to samo. Czyli musisz podzielić przez 2!, bo 2! to liczba permutacji między literami A. Jeśli nie podzieliłbyś, to jest to równoznaczne z tym, że kombinacja liter AA, oraz AA jest rozróżnialna tak, jakby były to różne litery, a tak na prawde to to samo.

[Gouranga]

wstępnie rozmieszczasz 4 litery na \(\displaystyle{ 4!}\) sposobów. ale wiesz, że wszystkie A możesz między sobą zamieniać na \(\displaystyle{ 2!}\) sposobów co nie zmieni efektu, więc te \(\displaystyle{ 4!}\) jest o \(\displaystyle{ 2!}\)razy za dużo dlatego dzielisz i potem to samo jeszcze dla T