Problem z ułożeniem dziewczynek i chłopców w szereg

[KcR]

Cześć, mam problem z jednym z zadań. Otóż treść brzmi tak:

cztery dziewczynki i ośmiu chłopców siedzą na tym samym pniu zwalonego dębu. Dziewczynki siedzą obok siebie i chłopcy również siedzą obok siebie. Ile jest wszystkich możliwych sposobów posadzenia dzieci w ten sposób? Jak zmieni się liczba kombinacji, jeśli dziewczynki nie mogą siedzieć obok siebie?

No to jeśli chodzi o pierwszy podpunkt to spoko:
\(\displaystyle{ 4! \cdot 8!}\)
ale jak zrobić kolejny podpunkt? Kombinowałem (heh, gra słów) z tym na tysiąc różnych sposobów ale żadne rozwiązanie mnie nie przekonuje. Ma ktoś pomysł?

[bakala12]

jeśli dziewczynki nie mogą siedzieć obok siebie?

A nie chodziło o coś takiego:

jeśli dziewczynki nie muszą siedzieć obok siebie?

[KcR]

W treści jest "nie mogą", ale chodzi o wszystkie możliwe kombinacje kiedy dziewczynka nie siedzi obok dziewczynki czyli np.:

d,ch,d,ch,d,ch,ch,ch,d,ch,ch,ch lub d,ch,ch,d,ch,ch,d,ch,ch,d,ch,ch.

W sumie teraz próbowałem to ugryźć w ten sposób, żeby od całej puli możliwości (\(\displaystyle{ 12!}\)) odjąć zbiór przeciwny (czyli że dziewczynki siedzą obok siebie więc \(\displaystyle{ 4! \cdot 8!}\)) no ale nie jestem do końca przekonany że to jest dobrze :/. Jakaś weryfikacja toku myślenia lub inne pomysły?

[yorgin]

Usadź najpierw chłopców. Teraz usadź dziewczyny tak, że każda zajmie jedno miejsce pomiędzy jakimś chłopcem, przed pierwszym lub za ostatnim, tzn zajmie jedną kreskę z poniższych

\(\displaystyle{ -\mbox{ch}-\mbox{ch}-\mbox{ch}-\mbox{ch}-\mbox{ch}-\mbox{ch}-\mbox{ch}-\mbox{ch}-}\)

[KcR]

Hm, tak tego nie rozpatrywałem. Czyli tak:
kombinacji chłopców zawsze jest \(\displaystyle{ 8!}\), bo zajmują te same miejsca. Co do płci pięknej mamy 9 miejsc i tylko cztery dziewczynki zatem ilość tych wszystkich kombinacji jest \(\displaystyle{ 9 \cdot 4!}\). Czyli wynik to \(\displaystyle{ 8! \cdot 9 \cdot 4!}\). Dobrze rozumuję?

[yorgin]

Chłopców na \(\displaystyle{ 8!}\) można rozłożyć, to prawda.

Ale z dziewczynkami jest inaczej. Masz do obsadzenia \(\displaystyle{ 9}\) miejsc czterema osobami. Kolejność ma znaczenie. Wariacje bez powtórzeń.

[KcR]

Faktycznie, tak bez pomyślunku napisałem wcześniej odpowiedź. Czyli za elementy zbioru bierzemy nie dziewczynki, a miejsca... zatem poprawny wynik to:
\(\displaystyle{ 8! \cdot \frac{9!}{(9-4)!}}\)

Dzięki wielkie za pomoc . Naprawdę wolę już równania różniczkowe i całki wielokrotne niż kombinatorykę i jej pochodne :/. Jeszcze raz wielkie dzięki.

[Gouranga]

Przy okazji, pierwsze masz źle
\(\displaystyle{ 8!\cdot 4!}\) spoko ale to jeszcze razy 2 bo możesz usadzić dziewczynki po jednej stronie pnia, chłopców po drugiej albo odwrotnie