Program komputerowy dekoduje 5 cyfrowe nr id...

[Prezzes]

Program komputerowy dekoduje 5 cyfrowe nr id zawierające dwie "8". Ile możliwości musi sprawdzić ten program?
Jak sie za to zabrac?

[loitzl9006]

\(\displaystyle{ {5 \choose 2} \cdot 9^3}\)

Wyjaśnienie: dwie ósemki można ustawić na \(\displaystyle{ {5 \choose 2}}\) sposobów wybieramy dla nich dwa miejsca z pięciu. Na każdym z trzech pozostałych miejsc może stać jedna z (dziewięciu) cyfr oprócz ósemki

[Gouranga]

loitzl9006, zanim przeczytałem twoje rozwiązanie sam chciałęm to rozwiązać i wymyśliłem coś innego, możesz mi powiedzieć gdzie robię błąd?
moje myślenie:
na pierwsze 2 miejsca wstawiamy ósemki, na pozostałe 3 miejsca na \(\displaystyle{ 9^3}\) sposobów. teraz ustawiamy to na \(\displaystyle{ 5!}\) sposobów ale dzielimy przez \(\displaystyle{ 2!}\) wykluczając permutację wśród ósemek. i wychodzi mi
\(\displaystyle{ \frac{5!}{2!} \cdot 9^3}\)
skąd taka rozbieżność ?

[loitzl9006]

Wydaje mi się że Twój sposób nie uwzględnia (ewentualnej) powtarzalności elementów innych niż ósemki stąd rozbieżność.

[Gouranga]

twój też nie
jak wyierzesz dowolne 2 miejsca do wstawienia ósemek to na pozostałe możesz wstawić nawet 3 takie same i twoim i moim sposobem
tylko u ciebie jak się wylosuje ciąg np 88123 to dzielisz go przez 3! więc w tym samym przypadku zawierasz też siąg 88231 ale wylosowanie na początku ciągu 88231 jest u ciebie innym przypadkiem i w nim też się zawiera 88123 jeśli dobrze rozumiem, bo dzieląc przez 3! zakładasz, że kolejność pozostałych 3 liczb nie ma znaczenia

[loitzl9006]

jak wyierzesz dowolne 2 miejsca do wstawienia ósemek to na pozostałe możesz wstawić nawet 3 takie same i twoim i moim sposobem

zgadza się

tylko u ciebie jak się wylosuje ciąg np 88123 to dzielisz go przez 3! więc w tym samym przypadku zawierasz też siąg 88231 ale wylosowanie na początku ciągu 88231 jest u ciebie innym przypadkiem

Dzielenie przez \(\displaystyle{ 3!}\) stosuję tylko przy wyborze miejsc w których będą ósemki. I na tym koniec. Zatem dzieląc przez \(\displaystyle{ 3!}\) wcale nie zakładam że kolejność pozostałych trzech cyfr nie ma znaczenia.

\(\displaystyle{ 88--- \\ 8-8-- \\ 8--8- \\ 8---8 \\ -88-- \\ -8-8- \\ -8--8 \\ --88- \\ --8-8 \\ ---88}\)

W każdym z tych dziesięciu przypadków mam wolne trzy miejsca w które można wsadzić jedną z dziewięciu cyfr. Takie minizadanie trzeba rozwiązać: ile jest trzycyfrowych kodów składających się z cyfr \(\displaystyle{ 0,1,2,3,4,5,6,7,9}\) ? Na pierwszym miejscu można wstawić jedną z dziewięciu cyfr, na drugim tak samo i na trzecim też bo się mogą powtarzać. Zatem takich kodów jest \(\displaystyle{ 9\cdot 9\cdot 9=9^3}\), i tak w każdym przypadku. A przypadków było \(\displaystyle{ 10}\), więc \(\displaystyle{ 10\cdot 9^3}\) możliwości.

Twoje postępowanie z permutacjami powoduje że np kody 88131 i 88131 traktujesz za dwie możliwości (przestawienie jedynek) dlatego Ci tak dużo tego wyszło.