Mam takie oto zadanie:
Rozwiązać równanie różnicowe \(\displaystyle{ y_{n+1}-y_{n}=n-5}\)
i nie mam zielonego pojęcia jak rozwiązywać tego rodzaju zadania. Czy ktoś jest w stanie rozpisać takie równanie i może wskazać na co należy uważać przy ich rozwiązywaniu.
Równanie róznicowe
-
Barbara777
- Użytkownik
- Posty: 316
- Rejestracja: 13 maja 2013, o 18:28
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gówniak k. Bukowiny
- Podziękował: 16 razy
- Pomógł: 115 razy
Równanie róznicowe
Np taka metoda:
1. Zawsze najpierw rozwiazujesz rownanie jednorodne, tzn z lewa strona zero:
\(\displaystyle{ y_{n+1}-y_n=0}\)
Szukasz rozwiazania postaci \(\displaystyle{ y_n=a^n}\). Zeby znalezc \(\displaystyle{ a}\) podstawiasz toto do rownania.
\(\displaystyle{ a^{n+1}-a^n=0}\)
\(\displaystyle{ a=1}\)
Rozwiazanie ogolne rownania jednorodnego jest kombinacja liniowa liniowo niezaleznych rozwiazan, tu mamy jedno rozwiazanie czyli \(\displaystyle{ y_{nJ}=C\cdot 1=C}\) (\(\displaystyle{ C}\) - dowolnma stala)
2. Zeby znalezc rozwiazanie szczegolne rownania niejednorodnego (twojego wyjsciowego), szukasz rozwiazania postaci takiej, jakiej jest lewa strona, tu to bedzie wielomian stopnia 1. Czyli bylo by \(\displaystyle{ y_n= An+B}\). Ale UWAGA! Jesli ktorys ze skladnikow tego wyrazenia jest rozwiazaniem rownania jednorodnego, to trzeba szukane \(\displaystyle{ y_n}\) pomnozyc przez \(\displaystyle{ n}\) w odpowiedniej (najnizszej) potedze (pomysl, dlaczego). W tym wypadku wystarczy przez \(\displaystyle{ n}\). Czyli tu szukamy rozwiazania postaci
\(\displaystyle{ y_{ns}=n(An+B)= An^2+Bn}\)
Dla wyznaczenia nieznanych wspolczynnikow \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) obliczasz \(\displaystyle{ y_{(n+1)s}}\) i wstawiasz do rownania:
\(\displaystyle{ A(n+1)^2+B(n+1)-An^2-Bn= n-5}\)
Upraszczasz i grupujesz wyrazy przy tych samych potegach:
\(\displaystyle{ 2An+A+B=n-5}\)
Wielomian po lewej ma byc rowny wielomianowi po prawej, wiec
\(\displaystyle{ 2A=1}\)
\(\displaystyle{ A+B=-5}\)
\(\displaystyle{ A=\frac{1}{2}, \; B=-\frac{11}{2}}\)
Czyli rozwiazanie szczegolne rownania niejednorodnego to
\(\displaystyle{ y_{ns}=\frac{1}{2}n^2-\frac{11}{2}n}\)
3. Rozwiazaniem ogolnym rownania niejednorodnego jest suma: rozwiazanie ogolne rownania jednorodnego plus rozwiazanie szczegolnego rownania niejednorodnego (zupelnie tak samo jak w rownaniach rozniczkowych )
\(\displaystyle{ y_n=y_{nJ}+y_{ns}}\)
Czyli tu to bedzie
\(\displaystyle{ y_n=C+\frac{1}{2}n^2-\frac{11}{2}n}\)
Hej!
1. Zawsze najpierw rozwiazujesz rownanie jednorodne, tzn z lewa strona zero:
\(\displaystyle{ y_{n+1}-y_n=0}\)
Szukasz rozwiazania postaci \(\displaystyle{ y_n=a^n}\). Zeby znalezc \(\displaystyle{ a}\) podstawiasz toto do rownania.
\(\displaystyle{ a^{n+1}-a^n=0}\)
\(\displaystyle{ a=1}\)
Rozwiazanie ogolne rownania jednorodnego jest kombinacja liniowa liniowo niezaleznych rozwiazan, tu mamy jedno rozwiazanie czyli \(\displaystyle{ y_{nJ}=C\cdot 1=C}\) (\(\displaystyle{ C}\) - dowolnma stala)
2. Zeby znalezc rozwiazanie szczegolne rownania niejednorodnego (twojego wyjsciowego), szukasz rozwiazania postaci takiej, jakiej jest lewa strona, tu to bedzie wielomian stopnia 1. Czyli bylo by \(\displaystyle{ y_n= An+B}\). Ale UWAGA! Jesli ktorys ze skladnikow tego wyrazenia jest rozwiazaniem rownania jednorodnego, to trzeba szukane \(\displaystyle{ y_n}\) pomnozyc przez \(\displaystyle{ n}\) w odpowiedniej (najnizszej) potedze (pomysl, dlaczego). W tym wypadku wystarczy przez \(\displaystyle{ n}\). Czyli tu szukamy rozwiazania postaci
\(\displaystyle{ y_{ns}=n(An+B)= An^2+Bn}\)
Dla wyznaczenia nieznanych wspolczynnikow \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) obliczasz \(\displaystyle{ y_{(n+1)s}}\) i wstawiasz do rownania:
\(\displaystyle{ A(n+1)^2+B(n+1)-An^2-Bn= n-5}\)
Upraszczasz i grupujesz wyrazy przy tych samych potegach:
\(\displaystyle{ 2An+A+B=n-5}\)
Wielomian po lewej ma byc rowny wielomianowi po prawej, wiec
\(\displaystyle{ 2A=1}\)
\(\displaystyle{ A+B=-5}\)
\(\displaystyle{ A=\frac{1}{2}, \; B=-\frac{11}{2}}\)
Czyli rozwiazanie szczegolne rownania niejednorodnego to
\(\displaystyle{ y_{ns}=\frac{1}{2}n^2-\frac{11}{2}n}\)
3. Rozwiazaniem ogolnym rownania niejednorodnego jest suma: rozwiazanie ogolne rownania jednorodnego plus rozwiazanie szczegolnego rownania niejednorodnego (zupelnie tak samo jak w rownaniach rozniczkowych )
\(\displaystyle{ y_n=y_{nJ}+y_{ns}}\)
Czyli tu to bedzie
\(\displaystyle{ y_n=C+\frac{1}{2}n^2-\frac{11}{2}n}\)
Hej!
Ostatnio zmieniony 10 wrz 2013, o 23:26 przez Barbara777, łącznie zmieniany 1 raz.