Równanie różnicowe

[polaczek91]

Witam

Mam następujące równanie różnicowe, ale nie wiem za bardzo jak mam je ruszyć, mógłby ktoś spojrzeć i pomóc?

\(\displaystyle{ y_{n+1} - 2y_{n} = 3^{n+2} , y_{0}= -2}\)

[brzoskwinka1]

\(\displaystyle{ y_n =-11\cdot 2^n +3^{n+2}}\)

[polaczek91]

A mógłbym poprosić o napisane jak to po kolei ruszyć?

[yorgin]

Mam następujące równanie różnicowe, ale nie wiem za bardzo jak mam je ruszyć, mógłby ktoś spojrzeć i pomóc?

\(\displaystyle{ y_{n+1} - 2y_{n} = 3^{n+2} , y_{0}= -2}\)

Jest to proste równanie rekurencyjnie niejednorodne pierwszego rzędu.

Najpierw rozwiązujesz równanie jednorodne

\(\displaystyle{ y_{n+1}-2y_n=0}\)

skąd

\(\displaystyle{ y_n=A\cdot 2^n}\).

Następnie szukasz rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego - ze względu na postać niejednrodności zgadujesz rozwiązanie postaci

\(\displaystyle{ y_s=K\cdot 3^n}\)

Znajdujesz \(\displaystyle{ K}\) (podstawiasz do równania rekurencyjnego), sumujesz rozwiązanie szczególne z ogólnym, i z warunku początkowego wyznaczasz \(\displaystyle{ A}\).

[polaczek91]

Nie rozumiem trochę o co chodzi z tymi \(\displaystyle{ y_{n+1}}\) oraz \(\displaystyle{ y_n}\)

Jak mam interpretować to 'n' ?

Póki co robiłem zadania w których miałem np.
\(\displaystyle{ y' - 4y = -1, y(0) = -2}\)
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx} - 4 y = 0}\)

\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx} = 4 y / \cdot dx}\)

itd.

Na tej samej zasadzie to tutaj polega?
Dziękuje za pomoc.

[yorgin]

\(\displaystyle{ y_n}\) to ciąg liczbowy.

\(\displaystyle{ n}\) to indeks ciągu - liczba naturalna.

Zadanie nie jest równaniem różniczkowym, a równaniem rekurencyjnym. Niemniej rozwiązuje się je dokładnie tak samo.

[polaczek91]

Może źle się wyraziłem, domyśliłem się że jest to ciąg liczbowy tylko za bardzo nie wiem jak zinterpretować i zrobić następny krok.

Na początku mam przyrównać do zera, później na na drugą stronę:

\(\displaystyle{ y_{n+1} = 2y_n}\)

A jak dalej z tego wyjść żeby obliczyć \(\displaystyle{ y_n}\) ?

[yorgin]

Może źle się wyraziłem, domyśliłem się że jest to ciąg liczbowy tylko za bardzo nie wiem jak zinterpretować i zrobić następny krok.

Masz podany wzór na następny krok.

Na początku mam przyrównać do zera, później na na drugą stronę:

\(\displaystyle{ y_{n+1} = 2y_n}\)
A jak dalej z tego wyjść żeby obliczyć \(\displaystyle{ y_n}\) ?

Pisałem - tak samo, jak dla równań różniczkowych. masz masę przykładów, teorii i zadań.

[polaczek91]

Dziękuję