graf- piłka futbolowa

[kolegasafeta]

Piłka futbolowa jest uszyta ze skórzanych łatek pięciokątnych i sześciokątnych. Każda łatka pięciokątna ma wspólne krawędzie tylko z łatkami sześciokątnymi, natomiast każda łatka sześciokątna ma 3 wspólne krawędzie z łatkami sześciokątnymi i 3 z pięciokątnymi. Znajdź liczbę poszczególnych łatek, jeżeli wiadomo, że żadne 4 łatki nie stykają się w jednym punkcie.

[Mruczek]

\(\displaystyle{ w}\),\(\displaystyle{ s}\), \(\displaystyle{ k}\) - liczba wierzchołków, krawędzi i ścian
Z twierdzenia Eulera () mamy \(\displaystyle{ w+s-k=2}\).
Niech \(\displaystyle{ a}\) - liczba ścian pięciokątnych, \(\displaystyle{ b}\) - liczba ścian sześciokątnych.
Oczywiście \(\displaystyle{ a+b=s}\).
Mamy \(\displaystyle{ b}\) ścian sześciokątnych. Każda z nich łączy się z trzema różnymi ścianami pięciokątnymi, ale każda ściana pięciokątna ma \(\displaystyle{ 5}\) krawędzi, więc:
\(\displaystyle{ \frac{3b}{5}=a}\) .
Żadne \(\displaystyle{ 4}\) łatki nie stykają się w jednym wierzchołku, więc w każdym wierzchołku muszą stykać się trzy łatki (dla dwóch nie będzie się dało połączyć), więc liczba wierzchołków to \(\displaystyle{ w=\frac{5a+6b}{3}}\) , bo każdy wierzchołek liczymy trzy razy.
Analogicznie \(\displaystyle{ k=\frac{5a+6b}{2}}\)
Teraz wystarczy ułożyć układ równań i go rozwiązać. Powinno wyjść \(\displaystyle{ a=12}\) i \(\displaystyle{ b=20}\), czyli \(\displaystyle{ s=32}\).

[kolegasafeta]

No i świetnie, dzięki !