Na ile sposobów można utworzyć...

[robix]

Witam, mam wyjaśnić dokładnie zadanko z kombinatoryki. Jako, że umiem zapisać we wzorach newtona, ale nie potrafie wyjaśnić dlaczego, to proszę Was o pomoc

Zad 1: Na ile sposobów można utworzyć paczkę złożoną z 30 owoców mając do dyspozycji 30 identycznych pomarańczy, 30 identycznych jabłek, 30 identycznych cytryn oraz 30 identycznych gruszek, jeżeli:

a) w paczce ma znaleźć się co najmniej 5 pomarańczy i co najmniej 3 gruszki

b) jeżeli dodatkowo liczba cytryn w paczce nie przekracza 2
i praktycznie to samo zadanko, także głównie jak jedno będzie dokładnie rozwiązane to z drugim sobie poradzę bez problemu

Zad 2:
Na ile sposobów można rozmieścić 100 identycznych listów w dziesięciu różnych przegródkach tak, aby
a) w pierwszej było co najmniej 5 listów
b) w pierwszej było co najwyżej 5
obliczyć prawdopodobieństwo

Z góry ślicznie dziękuje za pomoc. Niech Wam Bóg w dzieciach wynagrodzi

[Gouranga]

1. Mamy jakby 30 miejsc do zapełnienia, pierwsze 5 zapełniamy pomarańczami, następne 3 gruszkami zgodnie z treścią. Zostają nam 22 wolne miejsca. Na każde następne miejsce możemy włożyć jeden z 4 owoców. Zadanie ułatwia fakt, że żaden z owoców nie skończy nam się przed zapełnieniem paczki. Stąd resztę wolnych miejsc możemy zapełnić na \(\displaystyle{ 4^{22}}\) sposobów. Jednak kolejność ułożenia owoców nie ma znaczenia w obrębie całej paczki, więc musimy podzielić wynik przez ilość wszystkich możliwych ustawień czyli \(\displaystyle{ 30!}\) co ostatecznie daje nam wynik \(\displaystyle{ \frac{4^{22}}{30!}}\)

-- 26 sie 2013, o 20:55 --

Jeśli chodzi o drugie to analogicznie zapełniamy 5 pomarańczy i 3 gruszki, zostają 22 wolne miejsca. Teraz w przypadku, gdzie nie włożymy żadnej cytryny to każde miejsce zapełniamy na \(\displaystyle{ 3^{22}}\) sposobów (wykluczamy cytryny) co daje wynik \(\displaystyle{ \frac{3^{22}}{30!}}\)
Jeśli damy jedną cytrynkę na dziewiąte miejsce to zostaje nam 21 wolnych i znowu na \(\displaystyle{ 3^{21}}\) sposobów bo już więcej cytryn nie chcemy co daje nam \(\displaystyle{ \frac{3^{21}}{30!}}\) ustawień
I dając dwie cytryny zostaje nam 20 wolnych miejsc co daje \(\displaystyle{ \frac{3^{20}}{30!}}\) sposobów.
sumując wszystkie przypadki dodstajemy:
\(\displaystyle{ \frac{3^{22}}{30!} + \frac{3^{21}}{30!} + \frac{3^{20}}{30!} = \frac{13\cdot 3^{20}}{30!}}\)

[pyzol]

Jeśli chodzi o pierwsze to nie mamy owoców ustawionych w rędzie i należy skorzystać z kombinacji z powtórzeniami. Interesują nas tylko pewne układy.
To wrzucasz 5 pomarańczy i 3 gruszki. Zostają 22 owoce do podziału, to masz masz takie równanko:
\(\displaystyle{ x_1+x_2+x_3=22}\) no i kombinacje z powtórzeniami.
W b każde trzeba po kolei bez cytryn \(\displaystyle{ x_1+x_2=30}\) plus 1 cytryna \(\displaystyle{ x_1+x_2=29}\) plus dwie cytryny \(\displaystyle{ x_1+x_2=28}\), tutaj akurat nie trzeba kombinacji z powtórzeniami.

[robix]

Dzięki wielkie . A wiecie jak Zad.2 zrobić?

[Gouranga]

Zad. 2:
a) do pierwszej wkładasz 5 listów, zostaje ci 95. Teraz każdemu z listów możesz przyporządkować dowolną z 10 przegród czyli na \(\displaystyle{ 10^{95}}\) sposobów.
b) podobnie jak w zad.1 musisz kolejne przypadki rozpatrzyć:
-dla 0 listów w pierwszej układasz 100 do 9 pozostałych \(\displaystyle{ 9^{100}}\)
-dla 1 w pierwszej 99 do 9 pozostałych \(\displaystyle{ 9^{99}}\) itd. co daje:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{5} 9^{100-k}}\)

[robix]

1. Mamy jakby 30 miejsc do zapełnienia, pierwsze 5 zapełniamy pomarańczami, następne 3 gruszkami zgodnie z treścią. Zostają nam 22 wolne miejsca.

zgadza się

Na każde następne miejsce możemy włożyć jeden z 4 owoców. Zadanie ułatwia fakt, że żaden z owoców nie skończy nam się przed zapełnieniem paczki. Stąd resztę wolnych miejsc możemy zapełnić na \(\displaystyle{ 4^{22}}\) sposobów. Jednak kolejność ułożenia owoców nie ma znaczenia w obrębie całej paczki, więc musimy podzielić wynik przez ilość wszystkich możliwych ustawień czyli \(\displaystyle{ 30!}\) co ostatecznie daje nam wynik \(\displaystyle{ \frac{4^{22}}{30!}}\)

to wychodzi liczba rzeczywista 0,....., a powinna być całkowita

A może to jest dobrze?
a) w paczce ma znaleźć się co najmniej 5 pomarańczy i co najmniej 3 gruszki

8 miejsc jest pewnych (5 pomarańczy i 3 gruszki)

Czyli interesują nas 22 miejsca na owoce
Zostaje: 25 pomarańczy, 27 gruszek, 30 cytryn, 30 jabłek
RAZEM: 25+27+30+30=112
kombinacje bez powtórzeń
n=112, k = 22
Odp:\(\displaystyle{ {112 \choose 22}}\)

b) jeżeli dodatkowo liczba cytryn w paczce nie przekracza 2
czyli liczba cytryn zmniejsza się do 2
cytryn może być 0 lub 1 lub 2

Zostaje: 25 pomarańczy, 27 gruszek, 2 cytryny, 30 jabłek
Razem: 84
Odp: \(\displaystyle{ {84 \choose 22}}\)

Zad: 2

Zad. 2:
a) do pierwszej wkładasz 5 listów, zostaje ci 95. Teraz każdemu z listów możesz przyporządkować dowolną z 10 przegród czyli na \(\displaystyle{ 10^{95}}\) sposobów.

ale listy są identyczne, więc kolejność nie ma znaczenia. To jest podstawowy błąd. Żeby łatwiej było pomyśleć wyobraźmy sobie jeżeli mamy 2 przegródek i 3 ident. listów. Jeżeli mamy listy ident. 1,1,1 to wtedy jeśli ciąg zamienimy liczbami przyporzadkowanymi nr przegródki to wyjdzie np. (1,2,2) odwrotnie (2,2,1) to przecież to liczymy jako jeden raz, a nie dwa - w przypadku wariacji tak jak policzyłeś

[pyzol]

Tutaj kombinacje z powtórzeniami jak pisałem.
\(\displaystyle{ n=4,k=22\\
\binom{22+4-1}{22}}\)
Twoje rozwiązanie rozróżnia każdy owoc. Tak w rzeczywistości jest bo każda pomarańcza się różni. Ale tu interesuje nas tylko to, ile tych pomarańczy znajdzie się w paczce. Celowo jest napisane, że są identyczne.
Ogólnie oba zadania są na kombinacje z powtórzeniami. Słyszałeś o takich?

[robix]

A no tak zacząłem sobie wyobrażać w rzeczywistości i zapomniałem o treści zadania.
Ale to podpunkt a)
Jak zrobić podpunkt b) ?

Może tak?
Liczba cytryn w paczce wynosi dokładnie 0 lub 1 lub 2
więc 22-2=20, na tylu miejscach możemy wybrać 3 owoce (bez cytryn) (n=3, k=20)
na 2 pozostałych miejscach możemy wybrać 4 owoce (n=4, k=2)
Odp: \(\displaystyle{ \binom{20 + 3 - 1}{22} +}\) \(\displaystyle{ \binom{2 + 4 - 1}{2}}\)

Czy może da się to łatwiej lub ładniej zrobić?

[pyzol]

Z cytrynami to ręcznie. 0 cytryn 30 pomarańczy, 0 cytryn 29 pomarańczy... ogólnie na 30 sposobów, z jedną masz 29 sposobów, a z dwiema 28.
Jeśli chodzi o drugie zadnie. To podobnie w a) rozkładasz 95 listów w 10 szufladkach, czyli
\(\displaystyle{ \binom{104}{9}}\).
W b)
Ilość=wszystkie-(a)+dokładnie 5
Dokładnie 5 to to samo co rozłożyć 95 listów w dziewięciu

[robix]

To już nie wiem, raz jest napisane tak, raz tak, nie pokrywa się to w ogóle.

ogólnie na 30 sposobów, z jedną masz 29 sposobów, a z dwiema 28.

Tylko, że tam w b) jest "dodatkowo", czyli powinno się liczyć od 22 (8 miejsc pewnych zajętych)
Może tak? n=3 (bo nie liczymy cytryn)
\(\displaystyle{ \binom{22 + 3 - 1}{22} + \binom{21 + 3 - 1}{21} + \binom{20 + 3 - 1}{20}}\)
opis: 0 cytryn + 1 cytryna + 2 cytryny (pewnych w paczce)

tylko , że coś by trzeba było odjąć, bo liczymy podwójnie sporo kombinacji chyba

Zad:2
a) myślę, że powinno być tak, a nie tak jak pyzol napisał
listy sa identyczne, przegródki różne {1,2,...,10}
k=95, a nie k=9
\(\displaystyle{ \binom{95 + 10 -1}{95}}\)

To w końcu dobrze zrobiłem b) , czy nie? Bardzo proszę o wzór z wyjaśnieniem odnośnie chociaż jednego przykładu z podpunktu b), bo każdy tutaj swoje pisze rozwiązanie i każde jest inne.

Z góry ślicznie dziękuje!

[pyzol]

To tak ja pisałem tylko ilość miejsc zmniejsz. Czyli \(\displaystyle{ 22+21+20}\)
\(\displaystyle{ \binom{104}{9}=\binom{104}{95}}\)

[robix]

Rzeczywiście to jest równe

To tak ja pisałem tylko ilość miejsc zmniejsz. Czyli \(\displaystyle{ 22+21+20}\)
\(\displaystyle{ \binom{104}{9}=\binom{104}{95}}\)

b) może po prostu tak:
Liczba cytryn w paczce wynosi dokładnie 0 lub 1 lub 2
więc 22-2=20, na tylu miejscach możemy wybrać 3 owoce (bez cytryn) (n=3, k=20)
na 2 pozostałych miejscach możemy wybrać 4 owoce (n=4, k=2)
Odp: \(\displaystyle{ \binom{20 + 3 - 1}{20} * \binom{2 + 4 - 1}{2}}\)

Ponawiam prośbę o rozpisanie i krótki opis do wzoru do podpunktu b), bo z tych dopowiedzeń już nie ogarniam niczego Dziękuje

[pyzol]

Patrz Robix masz \(\displaystyle{ 22}\) miejsca. MOżesz dać maksymalnie \(\displaystyle{ 2}\) cytryny.
Mamy trzy możliwości.
Pierwsza nie ma cytryn. Więc rozdajemy \(\displaystyle{ 2}\) rodzaje owoców w \(\displaystyle{ 22}\) miejsca. MOżesz liczyć ze wzoru wyjdzie Ci \(\displaystyle{ 23}\). Od zera pomarańczy do \(\displaystyle{ 22}\).
Kolejna opcja jedna cytryna. Masz \(\displaystyle{ 21}\) miejsc na dwa rodzaje owoców. \(\displaystyle{ 22}\) możliwości.
Ostatnia \(\displaystyle{ 2}\) cytryny. Masz \(\displaystyle{ 20}\) miejsc na \(\displaystyle{ 2}\) rodzaje owoców. \(\displaystyle{ 21}\) możliwości.
Razem \(\displaystyle{ 21+22+23}\)
Co do drugiego b)

Ilość=wszystkie-(a)+dokładnie 5

Wzór włączen i wyłączeń.
Wszystkie możliwości to \(\displaystyle{ \binom{109}{9}}\)
Podpunkt a) to \(\displaystyle{ \binom{104}{9}}\) jak już pisałem
Dokładnie \(\displaystyle{ 5}\), to rozkładasz \(\displaystyle{ 95}\) listów między \(\displaystyle{ 9}\) przegród.
\(\displaystyle{ \binom{103}{8}}\).

[robix]

Więc rozdajemy 2 rodzaje owoców w...

"utworzyć paczkę złożoną z 30 owoców mając do dyspozycji 30 identycznych pomarańczy, 30 identycznych jabłek, 30 identycznych cytryn oraz 30 identycznych gruszek"

czyli razem mamy 4 rodzaje owoców jak odejmiemy 1 rodzaj (cytryny) to mamy 3 rodzaje, a nie 2

To ja tak samo pyzol zrobiłem, ale nikt nie napisał czy dobrze to jest:
341895.htm#p5131644

Myślałem też, że liczymy podwójnie kombinacje dodając tak te kombinacje, ale już jak sobie rozpisałem, to zrozumiałem, że się nie powtarzają, bo mają inną ilość wyrazów (np. 22,21,20).

Czyli Zad:1 b) ostatecznie
n=3 (bo nie liczymy cytryn)
\(\displaystyle{ \binom{22 + 3 - 1}{22} + \binom{21 + 3 - 1}{21} + \binom{20 + 3 - 1}{20} = 276 + 253 + 231 = 760}\)
opis: 0 cytryn + 1 cytryna + 2 cytryny (pewnych w paczce)
TAK?

Zad: 2 b)

Dokładnie \(\displaystyle{ 5}\)

w treści jest "co najwyżej 5", a nie dokładnie, więc robimy analogicznie jak powyżej

0 lub 1 lub 2 lub 3 lub 4 lub 5 listów w pierwszej przegródce
\(\displaystyle{ \binom{100+ 9 - 1}{100} + \binom{99 + 9 - 1}{99} + \binom{98 + 9 - 1}{98} + \binom{97 + 9 - 1}{97} + \binom{96 + 9 - 1}{96} + \binom{95 + 9 - 1}{95} = \sum_{j=0}^{5} \binom{100 - j + 9 - 1}{100-j}}\)
Zgadza się?

[pyzol]

Ja ciągle widziałem 3 rodzaje owoców, a są 4. Nie wiem czemu mi się tak ubzdurało.
To raczej dobrze będzie.

Co najwyżej pięć, to wszystkie odjąć co najmniej pięć dodać równo pięć. Ale tak jak Ty napisałeś też można.