Wzór An - rekurencja

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
robix
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 11 lis 2012, o 19:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: ;-)
Podziękował: 12 razy

Wzór An - rekurencja

Post autor: robix »

Treść: Powstała nowa sekta XYZ. Każdy nowy członek sekty postępuje zgodnie z takimi samymi
zasadami. W momencie upływu drugiego tygodnia od momentu wstąpienia do sekty werbuje
(skutecznie) jedną nową osobą do sekty. Następnie już jest tak wprawny, że po upływie każdego
kolejnego tygodnia werbuje pięciu nowych członków sekty. Na początku w sekcie jest jeden nowy
członek. Znajdź zależność rekurencyjną na \(\displaystyle{ a_n}\) − liczbe członków sekty po \(\displaystyle{ n}\)−tygodniach
działalności XYZ (nie rozwiązuj rekurencji).
UWAGA: Zakładamy idealistycznie, ze nikt nie umiera, nie rezygnuje z sekty, a liczba osób,
które mogą się przyłączyć jest nieograniczona.

Teraz przychodzą mi do głowy różne rzeczy, ale wątpie, abym mógł to jakoś sam wyjaśnić dlaczego tak, a nie inaczej, proszę o pomoc (wzór + logiczne wyjaśnienie)

Z góry ślicznie dziekuję za pomoc
Ostatnio zmieniony 26 sie 2013, o 16:23 przez smigol, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
kolegasafeta
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 209
Rejestracja: 26 lis 2009, o 23:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 8 razy

Wzór An - rekurencja

Post autor: kolegasafeta »

Niech \(\displaystyle{ a_i}\) - ilość członków w sekcie po \(\displaystyle{ i}\) tygodniach. Mamy wtedy z treści zadania:
\(\displaystyle{ a_1=1,\newline a_2=2.}\)
Pora na zależność rekurencyjną, jest ona postaci
\(\displaystyle{ a_n=5\cdot a_{n-2}+1\cdot(a_{n-1}-a_{n-2})+a_{n-1}, \ n \ge 3}\).
Pierwsza część sumy ( z mnożnikiem 5) odpowiada "doświadczonym" członkom, tzn. tym o stażu dłuższym niż tydzień, natomiast nawias z mnożnikiem jeden to ilość "nowych" członków. Ostatni składnik to wszyscy członkowie którzy byli tydzień przedtem (bo nikt nie odchodzi z sekty).

Po uproszczeniu dostajemy
\(\displaystyle{ a_n=4a_{n-2}+2a_{n-1},n \ge 3.}\)-- 26 sie 2013, o 16:33 --btw w razie potrzeby można to rozwiązać
robix
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 11 lis 2012, o 19:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: ;-)
Podziękował: 12 razy

Wzór An - rekurencja

Post autor: robix »

Moment, moment Jak tak dłużej się zastanowię, to mi nie pasuje...
\(\displaystyle{ a_{3}=1 + 1 + 5 = 7}\)

\(\displaystyle{ a_{3}=}\) 1 (ten co na początku) + 1 (zwerbowany po upływie 2 tyg. przez początkowego) + 5 (zwerbowanych przez tego początkowego po upływie 3 tyg.), ten po upływie tygodnia (zwerbowany po upływie 2 tyg. jeszcze nie werbuje nikogo, bo jest w sekcie 1 tydzień dopiero, a ten pierwszy skoro zwerbował wspomnianych 5-ciu to nie werbuje dodatkowo 1 - tak jak w treści)
wg. wzoru \(\displaystyle{ n \ge 3.}\) to \(\displaystyle{ a _{3} = 8}\)
\(\displaystyle{ 7 \neq 8}\)
Pierwsza część sumy ( z mnożnikiem \(\displaystyle{ 5}\)) odpowiada "doświadczonym" członkom, tzn. tym o stażu dłuższym niż tydzień
a nie powinno być ze stażem dłuższym niż 2 tyg.?

Jeszcze tej części wzoru tak do końca nie rozumiem:
\(\displaystyle{ 1 \cdot (a_{n-1}-a_{n-2})}\)

Albo nie rozumiem dokładnie, co znaczą indeksy ciągu \(\displaystyle{ n=1,2,...}\)
Bo ogólnie jak widziałem inne zadania, to mam też ten sam problem ze zrozumieniem.
Proszę o wyjaśnienie, z góry dziękuje
Ostatnio zmieniony 9 lis 2013, o 01:59 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
Awatar użytkownika
vpprof
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 492
Rejestracja: 11 paź 2012, o 11:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 64 razy

Wzór An - rekurencja

Post autor: vpprof »

Według mnie powinno być tak:

\(\displaystyle{ \begin{tabular}{cccc} tydzień & \multicolumn{2}{c}{l. czł. werbujących:} & wszyscy \\
& jedną os. & pięć os. & \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 1 \\
2 & 1 & 0 & 2 \\
3 & 0 & 1 & 7 \\
4 & 1 & 1 & 13 \\
5 & 5 & 2 & 23
\end{tabular}}\)


Możemy dla prostoty, żeby w ogóle coś z tego wycisnąć, oznaczyć liczbę w drugiej kolumnie jako \(\displaystyle{ j_n}\) (jeden), w trzeciej \(\displaystyle{ p_n}\) (pięć), w czwartej będzie nasz ciąg \(\displaystyle{ a_n}\). Jedynymi składnikami, które coś dodają są te w drugiej i trzeciej kolumnie, więc \(\displaystyle{ a_n=a_{n-1}+j_n+5p_n}\).

Z kolei zbiór tych, co werbują pięciu powiększa się o tych, co jeszcze niedawno werbowali jednego, czyli \(\displaystyle{ p_n=p_{n-1}+j_{n-1}}\).

Zbiór tych, którzy werbują jedną osobę najtrudniej opisać, bo on nie powiększa się w prosty sposób, ale wynosi tyle, o ile dwa tygodnie temu powiększył się zbiór wszystkich — ci, którzy dochodzą, zaczynają werbować po dwóch tygodniach, więc: \(\displaystyle{ j_n=a_{n-2}-a_{n-3}}\).

Składając to wszystko do kupy: \(\displaystyle{ p_n=p_{n-1}+a_{n-3}-a_{n-4}= \sum_{m=2}^{n-1}a_{m-2}+a_{m-3}}\) przy założeniu, że \(\displaystyle{ p_0=0}\) oraz \(\displaystyle{ a_{-n}=0}\).

\(\displaystyle{ a_n=a_{n-1}+j_n+5p_n=a_{n-1}+a_{n-2}-a_{n-3}+5\sum_{m=2}^{n-1}a_{m-2}+a_{m-3}}\)
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

Wzór An - rekurencja

Post autor: »

\(\displaystyle{ a_n=a_{n-1}+a_{n-2}-a_{n-3}+5a_{n-3} = a_{n-1}+a_{n-2}+4a_{n-3}}\)
W nowym tygodniu wszyscy którzy byli tydzień temu w sekcie (\(\displaystyle{ a_{n-1}}\)) są w niej dalej, każdy kto ma staż dwutygodniowy (czyli \(\displaystyle{ a_{n-2}-a_{n-3}}\) sekciarzy) werbuje nową osobę, a każdy kto ma staż trzytygodniowy lub dłuższy (czyli \(\displaystyle{ a_{n-3}}\) sekciarzy) werbuje pięć nowych osób.

Q.
ODPOWIEDZ