Losowanie liczb - kolejność wyniku rosnąca

[ya23]

Witam, to mój pierwszy post na forum
Za czasów szkoły średniej byłem świetny w kombinatoryce i prawdopodobieństwie. Przyszło mi teraz zrobić zadanie i aż wstyd, nie pamiętam jak się za nie zabrać...

Wylosuj K liczb ze zbioru o N elementach:
1. Na ile sposobów można to zrobić?
Wariancja z powtórzeniami? : \(\displaystyle{ V(N,K) = N^{K}}\)

2. Na ile sposobów można to zrobić bez powtórzeń?
Wariancja bez powtórzeń? : \(\displaystyle{ V(N,K) = \frac{N!}{(N-K)!}}\)

3. Z liczbami rosnącymi?

4. Z liczbami rosnącymi i bez powtórzeń?

Bardziej niż na samym rozwiązaniu zależy mi na sposobie myślenia. Linki do dobrych materiałów z przykładowymi zadaniami oraz rozwiązaniami mile widziane!

[robertm19]

1 i 2 to mają być ciągi liczb, czy podzbiór? W pierwszym przypadku tak jak napisałeś wariacja w drugim kombinacje.
A i piszemy "wariacja" , wariancja to coś innego.
W 3 i 4 to korzystamy z kombinacji z powtórzeniami i bez. Każdy podzbiór k liczb można ustawić jednoznacznie w ciąg rosnący. O ile są różne w przypadku powtórzeń to będzie ciąg nie malejący

[Gouranga]

Jeśli chodzi o sposób myślenia, to:

1. Jest N dostępnych liczb i K miejsc do zapełnienia, na pierwsze miejsce możemy wstawić jedną z N liczb, na drugie znowu jedną z N bo mogą się powtarzać i tak wychodzi \(\displaystyle{ N^K}\)

2. j/w ale na drugie miejsce możemy wstawić jedną z N-1 liczb, na trzecie jedną z N-2 itd. co daje nam \(\displaystyle{ \frac{N!}{(N-K)!}}\) ale istotne jest, czy kolejność ustawienia tych K liczb ma znaczenie, jeśli nie, to całość trzeba podzielić przez \(\displaystyle{ K!}\) co daje nam \(\displaystyle{ {N \choose K} = \frac{N!}{K!(N-K)!}}\)