Ile jest rozwiązań równania

[Alister]

Jak w temacie, niestety nie umiem sobie poradzić z takim typem zadań :

\(\displaystyle{ x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5} + x_{6} = 40 \wedge ( 1 \le x_{i} \le 9 ) \wedge ( 1 \le i \le 6)}\)

O ile zadania bez takich ograniczeń są proste, o tyle to zadanie sprawia mi kłopot gdyż nie wiem jak je rozwiązac z takim górnym ograniczeniem x-ów. Byłbym wdzięczny za pomoc albo chociaż wskazówki jak takie równanie rozwiązywać. Pozdrawiam

[Qń]

Oczywiście podstawienie \(\displaystyle{ x_i=y_i+1}\) sprowadza zadanie do rozwiązania równania:
\(\displaystyle{ y_1+y_2+y_3+y_4+y_5+y_6=34}\)
w liczbach całkowitych nieujemnych i nieprzekraczających \(\displaystyle{ 8}\).

Można sobie teraz poradzić na dwa sposoby:

Albo użyć funkcji tworzących i sprawdzić co stoi przy \(\displaystyle{ x^{34}}\) w wyrażeniu:
\(\displaystyle{ (1+x+\cdots + x^8)^6}\)
(w tym celu należy "zwinąć" nawias, a potem trochę porachować)

Albo też użyć reguły włączeń i wyłączeń - wystarczy oznaczyć przez \(\displaystyle{ Y_i}\) zbiór takich rozwiązań, że \(\displaystyle{ y_i\ge 9}\) i zauważyć, że do policzenia mamy:
\(\displaystyle{ |Y_1' \cap Y_2'\cap Y_3'\cap Y_4'\cap Y_5'\cap Y_6'|}\)

Q.

[Gouranga]

ja bym zaczął od ustawienia
\(\displaystyle{ 9+9+9+9+3+1}\)
i jego permutacji, których jest o ile dobrze pamiętam jak się to liczy
\(\displaystyle{ \frac{6!}{4!} = 30}\)
następnie
\(\displaystyle{ 9+9+9+9+2+2}\)
i jego permutacje:
\(\displaystyle{ \frac{6!}{4!\cdot 2!} = 15}\)

dalej
\(\displaystyle{ 9+9+9+8+4+1}\)
\(\displaystyle{ 9+9+9+8+3+2}\)
\(\displaystyle{ 9+9+9+7+5+1}\)
\(\displaystyle{ 9+9+9+7+4+2}\)
\(\displaystyle{ 9+9+9+7+3+3}\)
itd.

[Alister]

Dziękuję za wskazówki. Pomogły mi one dotrzeć do rozwiązania. Skorzystałem z funkcji tworzącej, obliczając
\(\displaystyle{ ( \sum_{k=0}^{8} t^k )^{3}}\) a następnie dobierając odpowiednie współczynniki w pary by sumowały się do 34. Niestety to rozwiązanie było dosyć żmudne rachunkowo, ale poprawne.

Chciałbym zatem tylko na koniec się zapytać, czy istnieje jakiś względnie prostszy sposób na wyliczenie tego wielomianiu? Próbowałem zwinąć wzór w nawiasie jako szereg geometryczny lub podzielić wielomian na iloczyn \(\displaystyle{ ((1+t+t^{2})(1+t^{3}+t^{6}))^{6}}\) jednak w moim odczuciu niestety znacząco nie upraszczało to rachunków, ale możliwe że ominęło mnie jakieś przekształcenie.

[Qń]

\(\displaystyle{ (1+x+\cdots + x^8)^6= \left( \frac{1-x^9}{1-x}\right)^6= \left( \frac{1}{1-x}\right)^6\cdot (1-x^9)^6= \\ =
\left( \sum_{n\ge 0}\binom{n+5}{5}x^n \right)\cdot \left( \sum_{k=0}^6\binom 6k (-1)^kx^{9k}\right)}\)

Przy \(\displaystyle{ x^{34}}\) w tym napisie stoi:
\(\displaystyle{ \binom{39}{5}- \binom 61 \binom{30}{5} + \binom 62 \binom{21}{5}- \binom 63\binom{12}{5}}\)

Q.